2022-2023学年湖南省张家界市中湖中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省张家界市中湖中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为（     ） A.R     B. (–∞，1)∪(1， ∞)      C. (–∞，1)     D. (1， ∞) 参考答案： D 略 2. 投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A.        B.          C.            D. 参考答案： C 略 3. 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是(  )[来 A．[2,6)       B．(2,6)      C．(－∞,2]∪(6,+∞)     D．(－∞,2)∪(6,+∞) 参考答案： A 4. 若函数，则（    ） A. e B. 4 C. D. 1 参考答案： C 【分析】 利用分段函数的解析式先计算出的值，再计算出的值. 【详解】，，因此，，故选：C. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要充分利用分段函数的解析式，对于多层函数值的计算，采用由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题. 5. 等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数，且c≠0)是(  ) (A) 公差为d的等差数列          (B) 公差为cd的等差数列   (C) 非等差数列                  (D)可能是等差数列，也可能不是等差数列 参考答案： B 略 6. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数的取值范围是[Z,X,X, K]     A．(0, +∞)    B．(0, 2)      C．(1, +∞)        D．(0, 1) 参考答案： D 略 7. 直线与圆的位置关系是 A.相交         B．相切            C．相离          D．与值有关 参考答案： 8. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴 长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆 壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（　　） A．            B．        C．        D．以上答案均有可能 参考答案： D 9. 数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（　　） A．an=2n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=2n D．an=2n+1 参考答案： B 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式． 【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，…的第一项是1，且是公比为2的等比数列， 故通项公式是 an=1×qn﹣1=2n﹣1，故此数列的一个通项公式an=2n﹣1， 故选B． 10. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝(　　) A．45                              B．35 C．21                              D．15 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如右图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______ 。 参考答案： 12π 12. 已知函数f（x）=2x3+3x2+6x﹣5，则f′（0）=　  　． 参考答案： 6 【考点】导数的运算． 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】解：∵f（x）=2x3+3x2+6x﹣5， ∴f′（x）=6x2+6x+6 ∴f′（0）=6， 故答案为：6 13. 若x、y满足条件，z = x+3y的最大值为 参考答案： 11 14. 已知Sn为数列{an}的前n项和，，，则________. 参考答案：   15. 一个正三棱锥（底面是等边三角形，顶点在底面内的射影是底面等边三角形的中心的三棱锥）的底面边长为6，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是      参考答案： 9 16. 函数在定于与上单调递减，则            参考答案： 17. 已知函数，则________； 参考答案： 【分析】 直接求导即可 【详解】因为，进行求导得.将代入得.故. 【点睛】此题是关于求导运算的基础题 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1． （1）求证：AE⊥PB； （2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE?平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB． （2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值． 【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC ∴PA⊥BC， 又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点 ∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC ∴BC⊥AE… ∵PA=AC，E是PC的中点 ∴AE⊥PC，又BC∩PC=C ∴AE⊥平面PBC，又PB?平面PBC ∴AE⊥PB． … 解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF 又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A ∴PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF ∴PB⊥EF，又AF⊥PB ∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角… ∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则， 在Rt△PAB中，PA=1，，同理得 ∴在Rt△AEF中， 故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．… 19. 已知函数，集合 （1）求A； （2）若，求证： 参考答案： （1）；（2）见解析 试题分析：（1）先根据绝对值定义，将函数化为分段函数的形式，画出图像，根据图象即可求得；（2）结合（1）得，作差，化简即可得证. 试题解析：(1)函数 首先画出与的图象如图所示： 可得不等式解集为：. (2) ∵ ∴. ∴ ∴,故. 20. 设a≥0，＝x－1－ln2x＋2alnx. （1）令F(x)＝x，讨论F(x)的单调性并求极值； （2）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1. 参考答案： 解：（1）∵＝1－，∴F(x)＝x－2lnx＋2a，∴＝1－（x>0）， 由>0得：x>2，<0得：00）， ∴≥·(ln＋2a)>0，∴在（0，＋∞）上为增函数， ∴当x>1时，>，∴x－1－ln2x＋2alnx>1－1－0＋0， 即x－1－ln2x＋2alnx>0，∴x>ln2x－2alnx＋1.   略 21. （本小题满分12分） 已知命题：“函数在上单调递减”， 命题：“，”， 若命题“且”为真命题，求实数的取值范围. 参考答案： 解：P为真： 当时，只需对称轴在区间的右侧，即                  ∴                     --------------------5分 为真：命题等价于：方程无实根.       ∴   -----------------10分 ∵ 命题“且”为真命题     ∴       ∴ .  …12分 略 22. （本小题满分14分）已知函数    （1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；    （2）讨论函数的单调性；    （3）当时，求证：对大于的任意正整数，都有。 参考答案： 解：（1）∵      ∴            ．．．．．．1     ∵  函数在上为增函数  ∴  对恒成立       对恒成立，即对恒成立∴    4分    （2），        当时，对恒成立，的增区间为 ．．．．．．5          当时，，         的增区间为，减区间为（）．．．．．．6