2023年山东省济南市港沟镇中学高一数学文上学期期末试题含解析

2023年山东省济南市港沟镇中学高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月) 的关系:,有以下叙述:     ① 这个指数函数的底数是2; ② 第5个月时,浮萍的面积就会超过 ③ 浮萍从蔓延到需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等; ⑤ 若浮萍蔓延到、、所经过的时间 分别为、、，则.其中正确的是 (      )                                                          A. ①②          B.①②③④        C.②③④⑤        D. ①②⑤ 参考答案： D 略 2. 已知=（x-）(x-)+1,并且α，β是方程=0的两根，则实数α，β，，的大小可能是（   ） A  α＜＜β＜       B   ＜α＜＜β C  ＜α＜β＜       D   α＜＜＜β 参考答案： C 3. 若，则之间的大小关系为（   ） A.<<    B.<<    C.<<    D.<< 参考答案： D 4. 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（4，+∞） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围． 【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点 ∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增， 要使函数f（x）在[0，+∞）不单调， 即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0， 可得2＜a＜4．即a∈（2，4）， 故选C． 【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题． 　 5. 直线 倾斜角的大小是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解. 【详解】直线化成斜截式为， 因为 ，所以. 故选B. 【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题. 6. 设集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛3,4,5｝则         (　　)     A．｛2,3,4｝       B．｛2,3,5｝       C．｛3,4,5｝       D．｛2,3,4,5｝ 参考答案： D 略 7. △ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，d＝2，B＝60°，若这个三角形有两解，则a的范围（    ） A． B． C．a＞2 D．a＜2 参考答案： A 很明显，否则三角形只有一个解，且由余弦定理有： ，即：， 整理可得：，满足题意时，关于的方程有两个不同的实数解， 据此有：， 求解关于边长的不等式可得：， 综上可得：a的范围是. 本题选择A选项.   8. 已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若?=﹣3，则λ的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：由题意可得 =2×2×cos60°=2， ?=（+）?（﹣）=（+）?[（﹣）﹣] =（+）?[（λ﹣1）?﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）?﹣ =（1﹣λ）?4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=， 故选：A． 9. 下列叙述中，正确的个数是 ①集合中最小的数是1； ②若－aN，则a∈N； ③若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值是2； ④方程x2－4x＝－4的解集是{2，2}． [　　] A．0个     B．1个     C．2个    D．3个 参考答案： A 解析:本题考查集合与元素之间的关系，①没有说清楚是什么数集合，故错；②可举例说明：a＝，则－a＝N，但a＝N故错；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1≠2，故错；④方程解集是{2} 10. 函数的周期、振幅、初相分别是（     ） A．     B．       C．    D． 参考答案： D 试题分析：, ( A>0.ω>0), A叫做振幅,周期, φ叫初相           所以周期T=4π，振幅为2，初相 ． 考点：三角函数公式含义 . 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有下列几个命题： ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数； ②函数y=在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数； ③函数y=的单调区间是[﹣2，+∞）； ④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）． 其中正确命题的序号是           ． 参考答案： ④ 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 【分析】①根据二次函数的性质，可知函数y=2x2+x+1在[﹣4，+∝）单调增． ②y=在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上均为减函数．但在并集上并不一定是减函数． ③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x﹣x2≥0， ④通过函数的单调性，a+b＞0，可得出答案． 【解答】解：①∵函数y=2x2+x+1，对称轴为x=﹣，开口向上 ∴函数在[﹣4，+∝）单调增 ∴在（0，+∞）上是增函数， ∴①错； ②虽然（﹣∞，﹣1）、（﹣1，+∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义， ∴②错； ③5+4x﹣x2≥0， 解得﹣1≤x≤5，由于[﹣2，+∞）不是上述区间的子区间， ∴③错； ④∵f（x）在R上是增函数，且a＞﹣b， ∴b＞﹣a，f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a），f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）， 因此④是正确的． 故答案：④ 【点评】本题主要考查了函数单调性的判断．属基础题． 12. 如图，正方体的棱长为1，为中点，连接，则异面直线和所成角的余弦值为_____． 参考答案： 【分析】 连接CD1，CM，由四边形A1BCD1为平行四边形得A1B∥CD1，即∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求△CD1M的三边长，由余弦定理求解即可． 【详解】如图， 连接，由，可得四边形为平行四边形， 则，∴为异面直线和所成角， 由正方体的棱长为1，为中点， 得，． 在中，由余弦定理可得，． ∴异面直线和所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角. 13. （5分）若菱形ABCD的边长为2，则=         ． 参考答案： 2 考点： 向量在几何中的应用． 专题： 计算题． 分析： 利用向量的运算法则将化简，利用菱形ABCD的边长为2得到向量模的值． 解答： = ===2 故答案为：2 点评： 本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、三角形法则；利用向量解决几何中的长度、角度的问题． 14. 已知集合A=, B=, 则_______ 参考答案： 略 15. 函数在区间上的值域为               参考答案： [] 16. 若向量=(2，3），向量=(-4，7），则在上的正射影的数量为________________  参考答案： 设向量与的夹角为， 则在方向上的投影为.   17. （5分）将函数y=sinx的图象上所有点左移个单位所得图象对应的函数的解析式是      ． 参考答案： y=cosx 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解答： 将函数y=sinx的图象上所有点左移个单位所得图象对应的函数的解析式是y=sin（x+）=cosx， 故答案为：y=cosx． 点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知的周长为，且． （1）求边c的长； （2）若的面积为，求角的度数． 参考答案： 解：（1）由题意及正弦定理，得， ，两式相减，得． （2）由的面积，得， 由余弦定理，得， 所以 略 19. 设集合，集合，分别就下列条件求实数的取值范围：        （1）；（2）. 参考答案： 20. （10分）（2015秋?合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0． （Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值； （Ⅱ）求证：f（x）是偶函数； （Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）分别令x=y=1，x=y=﹣1，求出f（1）和f（﹣1）的值； （Ⅱ）令x=x，y=﹣1，即可求出f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数 （Ⅲ）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x的不等式组，解得即可． 【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1， 则f（1）=f（1）+f（1）， ∴f（1）=0， 再令x=y=﹣1， 则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）， ∴f（﹣1）=0， （Ⅱ）令x=x，y=﹣1， 则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x）， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴f（x）为偶函数； （Ⅲ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， ∴＜1， ∴f（）＜0， ∴f（x1）=f（x2?）=f（x2）+f（）＜f（x2）， ∴f（x）在（0，+∞）是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）是减函数， ∵f（2）+f（x2﹣）=f（2x2﹣1）≤0=f（1）=f（﹣1）， ∴或， 解得﹣＜x＜．或﹣1≤x＜﹣，或＜x≤1， ∴不等式的解集为[﹣1，﹣）∪（﹣，）∪（，1] 【点评】本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题． 21. (本小题满分12分)   已知函数   (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；   (2)证明函数在区间(1，)上是增函数。 参考答案： 22. 小明家买了一个太阳能热水器，实物图和横断面如图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=80cm，∠CED=45°.求热水器的总高度CF的长．（结果保留根号） 参考答案： 解：在Rt△DCE中，∠CED=45°， DE=80， ∵sin∠CED=   ∴DC=DE×sin∠CED = 40 (厘米) 设水箱半径OD=x厘米，则OC=(40+x)厘米， AO=(150+x)厘米， ∵Rt△OAC中，∠BAC=30° ∴AO=2×OC    即：150+x=2(40+x)