2022年浙江省温州市界坑中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年浙江省温州市界坑中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　) A.         B.          C.         D.或   参考答案： B 2. 已知，则f(3)为                            （   ） A  2             B  3              C  4             D  5 参考答案： A 3. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是          （    ） Ａ．            Ｂ．             Ｃ．              Ｄ． 参考答案： D 略 4. 设等比数列的前n项和为，若（    ）B A、2            B、           C、           D、3 参考答案： B 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度            B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度            D．向右平移1个单位长度 参考答案： D 6. 为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（   ） A. 向右平移3个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向左平移个单位长度 参考答案： B 【分析】 先化简得，根据函数图像的变换即得解. 【详解】因为， 所以函数图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. （5分）在如图所示的边长为6的正方形ABCD中，点E是DC的中点，且=，那么?等于（） A． ﹣18 B． 20 C． 12 D． ﹣15 参考答案： D 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 运用中点向量表示形式和向量加法的三角形法则可得=﹣，再由向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，及向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到结论． 解答： 解：在△CEF中，=+， 由于点E为DC的中点，则=， 由=，则=+=+=﹣， 即有=（﹣）?（+）=﹣+ =（﹣）×62+0=﹣15． 故选D． 点评： 本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查中点向量表示形式，考查运算能力，属于中档题． 8. 已知，则AC的垂直平分线所在直线方程为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果. 【详解】因为，所以其中点坐标是，又， 所以的垂直平分线所在直线方程为， 即，故选A. 【点睛】该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果. 9. 一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为   A.         B.         C.             D. 8 参考答案： A 10. 已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是（　　） A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 参考答案： C 【考点】分段函数的应用． 【分析】利用函数的单调性，函数的值域列出不等式组求解即可． 【解答】解：函数f（x）=，当x≥3时，函数是增函数，所以x＜3时，函数也是增函数， 可得：，解得a＞﹣1． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的最小值是(　　) A. 4       B. 3       C. 2      D. 1 参考答案： A 12. 已知，则的值是_____________。 参考答案：     解析：， 13. 已知函数f（x）=的值为　　． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题． 【分析】首先求出f（）=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可． 【解答】解：∵＞0 ∴f（）=log3=﹣2 ∵﹣2＜0 ∴f（﹣2）=2﹣2= 故答案为． 【点评】本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题． 14. 在△ABC中，若A=120°，a=2，b=，则B=　　． 参考答案： 30° 【考点】正弦定理． 【分析】根据正弦定理即可求解B的大小． 【解答】解：由题意A=120°，a=2，b=， 正弦定理，可得：，解得：sinB=． ∵A=120°， ∴B＜60°． ∴B=30°． 故答案为30° 15. （5分）向量，满足||=1，|﹣|=，与的夹角为60°，||=         ． 参考答案： 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由题意可得：，展开代值可得，解之即可． 解答： 解：由题意可得：，即， 代入值可得：1﹣2×1××+=， 整理可得，解得=， 故答案为： 点评： 本题考查向量模长的求解，熟练掌握数量积的运算是解决问题的关键，属基础题． 16. 在中，已知，，，则             ． 参考答案： 略 17. 已知函数在区间和上均为单调递减，记，则的取值范围是    . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，△OAB中，，，AD与BC交于点M， 设，，试用，，表示。   参考答案：   ∴，解得  ∴ 略 19. 函数f（x）=3cosωx+sinωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点．B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （1）求ω的值及f（x）的值域； （2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值． 【分析】（1）化简函数解析式可得f（x）=2sin，由题意可求BC，由周期公式可求ω，由正弦函数的性质可求值域． （2）由已知及（1）可求sin，结合范围x0∈，得+∈，可求cos，故f（x0+1）=2sin =2sin利用两角和的正弦函数公式即可求值． 【解答】解：（1）由已知可得f（x））=3cosωx+sinωx=2sin… 易得正三角形ABC的高为2，则BC=4， 所以函数f（x）的周期为4×2=8，即=8，解得ω=． 所以函数f（x）的值域为[﹣，]… （2）因为f（x0）=，由（1）有f（x0）=2sin =，即sin =， 由x0∈，得+∈． 即cos ==， 故f（x0+1）=2sin =2sin = ==．… 20. 函数是定义在（-1,1）上的奇函数，且， （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在（-1,1）上是增函数； （3）解不等式 参考答案： 解：（1）依题意得，………2分 即，∴，∴………4分 （2）任取，且，则 ………6分 由于，  所以，………8分 因此函数在（-1,1）上是增函数………9分 （3）由得，………11分 ∴，………13分 解得………14分   21. 已知函数f（x）=ax﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，2）， （1）求实数a； （2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式； （3）对于定义在[1，9]的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+m+2 恒成立，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法；反函数． 【分析】（1）令x=a，则f（a）=2，从而可知f（x）过定点（a，2），再由题设即可求得a值； （2）根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得g（x）表达式，从而可得h（x）的解析式； （3）令t=log3x，则t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+m+2 恒成立，可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值； 【解答】解：（1）由f（x）=ax﹣a+1，知令x=a，则f（a）=2， 所以f（x）恒过定点（a，2）， 由题设得a=3； （2）由（1）知f（x）=3x﹣3+1， 将f（x）的图象向下平移1个单位，得到m（x）=3x﹣3， 再向左平移3个单位，得到g（x）=3x， 所以函数g（x）的反函数h（x）=log3x． （3）[h（x）+2]2≤h（x2）+m+2，即[log3x+2]2≤+m+2， 所以+2log3x+2﹣m≤0， 令t=log3x，则由x2∈[1，9]得t∈[0，1]， 则不等式化为t2+2t+2﹣m≤0， 不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+m+2 恒成立，等价于t2+2t+2﹣m≤0恒成立， 因为t2+2t+2﹣m=（t+1）2+1﹣m在[0，1]上单调递增， 所以t2+2t+2﹣m≤12+2×1+2﹣m=5﹣m， 所以5﹣m≤0，解得m≥5． 故实数m的取值范围为：m≥5． 22. 过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标． 【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程． 【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分． 设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有， 又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以． 由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣） 所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．