2022年河南省洛阳市窑头中学高二数学理期末试卷含解析

2022年河南省洛阳市窑头中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图是函数的大致图象，则等于（    ） A．     B．      C．       D．                                             参考答案： C 略 2. 极坐标方程表示的图形是（     ） A．两个圆   B．一个圆和一条直线  C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 参考答案： C 3. 设复数，则z的虚部是 A. i B. 3 C. 2 D. －2 参考答案： D 4. 抛物线y2﹣8x=0的焦点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0） 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标． 【解答】解：整理抛物线方程得抛物线y2=8x， 所以焦点在x轴上，p=4， 所以焦点（2，0）. 5. 已知之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 求得的直线方程为则以下结论正确的是（   ） A．   B．    C．    D． 参考答案： C 略 6. 设复数满足，则 A．    B．    C．    D． 参考答案： B 7. 下列结论正确的是（　　） A．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+n+1，则{an}为的等差数列 B．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n﹣2，则{an}为等比数列 C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列 D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列 参考答案： D 【考点】等比数列；等差数列．  【专题】等差数列与等比数列． 【分析】在A中，由，得到{an}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{an}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列． 【解答】解：在A中，∵数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+n+1， ∴a1=S1=1+1+1=3， an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n， n=1时，an=2≠a1，故{an}不为的等差数列，故A错误； 在B中，∵数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n﹣2， ∴a1=S1=2﹣2=0， ∴{an}不为等比数列，故B错误； 在C中，若，，构成等差数列，则==， ∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾， ∴，，不可能构成等差数列，故C错误； 在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列， ∴b2=ac，∴=， ∴，，一定成等比数列，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用． 8. 下列说法正确的个数是（   ） ①若，其中，其中为复数集，则必有 ；②；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在． A．0           B． 1           C．2            D．3 参考答案： A 略 9. 已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为                                                           (    ) A．36π         B．32π       C．20π      D．16π 参考答案： B  10. 设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩CUB＝ A．{4，5}                  B．{2，3}                   C．{1}                       D．{2} 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数有一个极值，则实数a的取值范围为           ． 参考答案： 试题分析：因当时,是单调增函数,无极值；当时,函数的导数,其判别式,函数有两个极值.故当函数由一个极值.应填. 考点：极值的定义及运用． 12. 在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=           ． 参考答案： 3﹣ 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由A与C的度数，以及AB的长，利用正弦定理即可求出BC的长． 【解答】解：∵AB=，A=45°，C=75°，sin75°=sin（45°+30°）=×+×=， ∴由正弦定理得：=，即BC===3﹣． 故答案为：3﹣ 【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 13. 观察下列式子：，，，，…，归纳得出一般规律为　　． 参考答案： 【考点】F1：归纳推理． 【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的加数与式子编号之间的关系，易得等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式． 【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析： 等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和， 根据已知可以推断： 第n（n∈N*）个等式为： 故答案为： 14. 已知正数a,b满足3ab+a+b=1,则ab 的最大值是            参考答案： 15. 等比数列{an}的前n项和是Sn，若，则{an}的公比等于________. 参考答案： 16. 已知数组是1,2,3,4,5五个数的一个排列，如数组（1,4,3,5,2）是符合题意的一个排列，规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i使，则所有不同的数组中的各数字之和为                 。 参考答案： 675 17. 关于函数，有下列命题： ①其图象关于y轴对称； ②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2； ④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是                        ． 参考答案：   ①③④   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 解：　（1）当时，   ································································································· 2分    由得得         的单调递增区间为，单调递减区间为······························ 6分 （2）若对任意时，恒成立，      即时，恒成立，····································································· 7分        设，，即，  ，        设， ∴在上恒成立        在上单调递增 即在上单调递增········································································ 9分        ， 在有零点 在上单调递减，在上单调递增··········································· 10分 ，即，     12分 19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月3日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月1日  12月2日  12月3日  温差x(℃) 11 13 12 发芽数y(颗) 25 30 26 经研究分析发现种子发芽数y(颗)与温差x(℃)具有线性相关关系，并由最小二乘法求得b＝. （Ⅰ）求的值并写出y关于x的线性回归方程＝bx＋a； （Ⅱ）据天气预报得知12月6日最低气温为4℃，最高气温18℃，试估计这一天100颗种子的发芽数. 参考答案： 解：(1)由数据，求得＝12，＝27.……4分 所以a＝－b＝－3. .……6分 所以y关于x的线性回归方程为 ＝x－3. .……7分 (2)由题意：. .……9分 所以=32. .……12分   略 20. 已知椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2．求证：k1k2为定值，并求此定值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，右顶点A（2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与椭圆联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明k1k2为定值，并能求出此定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）， ∴由题意得，解得 ∴椭圆C的方程为．… 证明：（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为， 与联立，得， △=9m2+7（m2+4）＞0，设B（x1，y1），D（x2，y2）， 则… =． ∴k1k2为定值，定值为… 21. 已知函数f（x）=x2﹣2elnx．（e为自然对数的底数） （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线的方程． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． f（x）的导数为=， 由0＜x＜可得f′（x）＜0；由x＞可得f′（x）＞0． ∴f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）∵f（1）=1，f′（1）=2﹣2e． ∴切线为y﹣1=（2﹣2e）（x﹣1） 即切线方程为（2e﹣2）x+y+1﹣2e=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，考查方程思想的运用，以及运算求解能力，属于基础题． 22. 设函数 （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）求函数在[－1,2]上的最大值和最小值． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程； （2）利用导数研究出函数在区间的单调性，比较极值以及端点值的大小，即可求出函数在区间上的最大值与最小值。 【详解】（1）由题可得：， ，， 故函数图像在点处的切线方程为，化简得：