2022年福建省南平市吴屯中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年福建省南平市吴屯中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则下列不等式恒成立的是                                    （    ）     A．                        B．     C．                       D． 参考答案： C 2. 设集合，，则集合A∩B=（　　） A. (0,1] B. (0,1) C. (1,2) D.[1,2) 参考答案： A 【分析】 求解出集合B，根据交集定义求得结果. 【详解】    本题正确选项: 3. 已知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是                                                  （   ）   参考答案： B 设二次函数为，由图象可知，，对称轴，所以，，选B. 4. 已知集合，则A∩B=（    ） A. {1,2,3} B. {－1,0,1} C. {2,3} D. {－3,－2,－1,0,1} 参考答案： A 【分析】 先化简集合， 再与集合A取交集. 【详解】因为， 又因为， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查复集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 如图，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（    ） A． B． C． D． 参考答案： B ∵，，，， ∴正方形的的面积， 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积： ， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是． 故选B． 6. 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】由条件可得得x02+y02 ＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d小于半径，可得结论． 【解答】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4， 求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2， 故直线和圆C相交， 故选：C． 【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 7. 已知命题p、q，“为真”是“p为假”的   (A)充分不必要条件    (B)必要不充分条件   (C)充要条件         (D)既不充分也不必要条件 参考答案： A 8. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若 ，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的   面积，则（ ） （A）                           （B）且 （C）且                       （D）且     参考答案： D 9. 若直线平分圆则的最小值是                                                     （　  ） A．          B．             C．2        D．5 参考答案： B 略 10. 已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=(     ) A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】二倍角的余弦． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α． 【解答】解：∵sinα+cosα=，① ∴两边平方得：1+2sinαcosα=， ∴2sinαcosα=﹣＜0， ∵α为第四象限角， ∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0． ∴cosα﹣sinα=，② ∴①×②可解得：cos2α=． 故选：D． 【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数： ①f（x）=3x+2；   ②f（x）=x2﹣x+1；   ③f（x）=ln（x+1）；  ④f（x）=（x﹣）3， 在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为　　．（写出所有满足条件的函数的序号） 参考答案： ①④ 【考点】导数的概念． 【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案． 【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图． 对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确； 对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确； 对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确； 对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题． 12. （5分）（2015?泰州一模）在梯形ABCD中，=2，=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，?=?，Q为边AD上的一个动点，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】： 向量的加法及其几何意义． 【专题】： 平面向量及应用． 【分析】： 画图，根据向量的几何意义和++4=，可求出=2，||=4，设∠ADP=θ，根据?=?，求出cosθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到的最小值 解：取AB的中点，连接PE， ∵=2， ∴=2， ∴=， ∴四边形DEBC为平行四边形， ∴=， ∵+=﹣2，++4=， ∴=2， ∵=6， ∴=2，||=4， 设∠ADP=θ， ∵?=?， ∴?=||||cosθ=?， ∴cosθ=， ∴sinθ=， 当⊥时，最小， ∴=|DP|sinθ|=2×= 故答案为： 【点评】： 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题 13. 平面向量的夹角为60°，　　　　　 13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝ acos C，则cos A＝       . 参考答案： 略 14. 已知函数F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，若F（﹣1）=2，则f（0）=　  　． 参考答案： ﹣3 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】利用F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，F（﹣1）=2，得F（﹣1）=﹣F（1）=﹣[f（0）+1]=2，即可得出结论． 【解答】解：∵F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，F（﹣1）=2， ∴F（﹣1）=﹣F（1）=﹣[f（0）+1]=2， ∴f（0）=﹣3． 故答案为﹣3． 【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题． 15. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____. （1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对。 参考答案： ③ 【分析】 运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论. 【详解】若甲做对、，乙做对、，丙做对、，则题无人做对，所以①错误； 若甲做对、， 乙做对、，丙做对、，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误. 做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法. 故答案是：③. 【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目. 16. 已知（1﹣x﹣2y）2的展开式中不含x项的系数和为m，则xmdx=　　． 参考答案： 【考点】二项式系数的性质；定积分． 【分析】（1﹣x﹣2y）2的展开式中不含x项的系数和，即（1﹣x﹣2y）2的展开式中（1﹣2y）2的各项的系数和为m，对于（1﹣2y）2，令y=1，可得m，再利用微积分基本定理即可得出． 【解答】解：（1﹣x﹣2y）2的展开式中不含x项的系数和，即（1﹣x﹣2y）2的展开式中（1﹣2y）2的各项的系数和为m， 对于（1﹣2y）2，令y=1，可得m=（﹣1）2=1，即xmdx=xdx==． 故答案为：． 17. 函数f（x）= ，若方程f（x）﹣kx+ =0恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　    　． 参考答案： （，）   【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣），作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到答案． 【解答】解：设g（x）=kx﹣，则g（x）过点（0，﹣）， 过点（1，0）和（0，﹣）的直线的斜率k=，此时函数f（x）与g（x）只有3个交点， 过点（0，﹣）的直线与f（x）相切时，函数f（x）与g（x）只有3个交点， 设切点为（a，lna），则函数的导数f′（x）=， 即切线斜率k=， 则切线方程为y﹣lna=（x﹣a）=x﹣1， 即y=x+lna﹣1， ∵y=kx﹣， ∴lna﹣1=﹣，得lna=，a=， 此时k===， 故要使程f（x）=kx﹣恰有四个不相等的实数根， 则＜k＜， 故答案为：（，） 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （理科加试）在极坐标系中，P是曲线ρ=12sinθ上的动点，Q是曲线上的动点，试求PQ的最大值． 参考答案： 考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题． 分析：将ρ=12sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将原极坐标方程中的三角函数利用差角公式展开后，两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，最后利用直角坐标方程进行求解． 解答： 解：∵ρ=12sinθ∴ρ2=12ρsinθ ∴x2+y2﹣12y=0即x2+（y﹣6）2=36 又∵ ∴ ∴x2+y2﹣6x﹣6y=0 ∴ ∴PQmax=． 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．属于基础题． 19. （本题12分）已知函数 （I）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围； （II）设函数的两个极值点分别为判断下列三个代数式： ①②③中有几个为定值？并且是定值请求出； 若不是定值，请把不是定值的表示为函数并求出的最小值. 参考答案： 解：（1）由 得，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 又x-3<0恒成立，所以恒成立，所以