2023年吉林省四平市孤家子第一中学高三数学理期末试题含解析

2023年吉林省四平市孤家子第一中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列{an}满足an+ an+1 =n，那么其前4项的和S4等于 A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： B 2. 如果幂函数y＝的图象不过原点，则m的取值是(　　) A．    B．或    C．     D． 参考答案： B 略 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( D   ) A.        B.     C.       D.  参考答案： D 略 4. 如图，半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A，B，C，D，这四个小圆都与圆O内切，且相邻两小圆外切，则在圆O内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（    ） A.    B. C.   D.   参考答案： D 5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　） A.         B. 4         C. 2       D. 参考答案： B 6. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，则下列说法不正确的是 A．g(x)的周期为π B． C．的一条对称轴 D．g(x)为奇函数 参考答案： C 7. 已知α、β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则的取值范围是(　　) A．　        B．       C．          D． 参考答案： A 8. 已知函数，动直线与、的图象分别交于点、，的取值范围是              数学（理工农医类）试题第 2 页（共 4 页）        A．[0，1]    B．[0，2]C．[0，]   D．[1，] 参考答案： C 9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（  ） A. 6    B. 5     C. 8      D.7 参考答案： D 10. 已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的(　　)     A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件     C．充要条件            D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合,其中表示和 中所有不同值的个数. （Ⅰ）若集合,则； （Ⅱ）当时，的最小值为____________. 参考答案： （Ⅰ）6（Ⅱ）213. 12. 已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（﹣1，0），且椭圆C1的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=λk2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则λ=　　． 参考答案： 2 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据k1=λk2，应该找到k1，k2的关系式，再结合直线分别与直线相交，交点为A，B，C，D，用k把相应的点的坐标表示出来（将直线代入椭圆的方程消去关于x的一元二次方程，借助于韦达定理将A，B，C，D表示出来），再想办法把Q点坐标表示出来，再利用B，C，Q三点共线构造出关于k1，k2的方程，化简即可． 解答： 解： 设A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD）， 由得：， ∵xP=﹣1，∴，则点A的坐标为： 由得：， ∵xP=﹣1，∴，则点B的坐标为： 同理可得：， 根据B、C、Q三点共线，，结合Q（1，0） 所以=λ（） 化简得λ=2 故答案为：2． 点评： 本题的计算量较大，关键是如何找到k1，k2间的关系表示出来，最终得到λ的值． 13. 已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是____________． 参考答案： 略 14. 函数的定义域为R，那么的取值范围是________ 参考答案： 略 15. 已知函数f（x）=，则在点（2，f（2））处的切线方程为        ． 参考答案： y=﹣2x+8 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案． 解答： 解：∵f（x）=， ∴， ∴f′（2）=﹣2， 又f（2）=4， ∴函数f（x）=在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4=﹣2（x﹣2）， 即y=﹣2x+8． 故答案为：y=﹣2x+8． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 16. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为          ． 参考答案： 17. 如图：抛物线的焦点为F , 原点为O ，直线AB 经过点F ，抛物线的准线与x 轴交于点C ，若，则= ________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ax2+2x﹣ln（x+1）（a为常数） （1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间； （2）求x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞）， 当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+2x﹣ln（x+1）， ∴f′（x）=﹣2x+2﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由f′（x）＞0得：﹣＜x＜， 由f′（x）＜0，得：﹣1＜x＜﹣或x＞， ∴函数f（x）的单调增区间为（﹣，）， 单调减区间为（﹣1，），（，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤x恒成立， 令g（x）=f（x）﹣x=ax2+x﹣ln（x+1）， 问题转换为x∈[0，+∞）时，g（x）max≤0， ∵， ?当a=0时，， ∴g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时g（x）无最大值，故a=0不合题意．﹣﹣﹣﹣ ?当a＞0时，令g'（x）=0解得，， 此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，此时无最大值，故a＞0不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ?当a＜0时，令g'（x）=0解得，， 当时，， 而g（x）在[0，x2）上单调递增，在在[x2，+∞）上单调递减， ∴g（x）max=g（x2）=， 令， 则， ∴?（x）在上单调递增， 又，当e≈2.71时，e3≈19.9， ∴?（x）在小于或等于0不恒成立， 即g（x）max≤0不恒成立， 故不合题意． 当时，， 而此时g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减， ∴g（x）max=g（0）=0，符合题意． 综上可知，实数a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. 已知椭圆C经过点P（，），两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0） （1）求椭圆C的标准方程 （2）已知点A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于两点M，N，若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l方程． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）通过焦点坐标可设椭圆C的标准方程且a2﹣b2=3，将点P（，）代入椭圆方程，计算即得结论； （2）通过△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得直线l与x轴平行，利用kAM?kAN=﹣1计算即可． 解答： 解：（1）∵两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0）， ∴可设椭圆C的标准方程为：（a＞b＞0），a2﹣b2=3，① 又∵椭圆C经过点P（，）， ∴，② 联立①②，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆C的标准方程为：； （2）由（1）知，点A（0，﹣1）即为椭圆的下顶点， ∵△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线l与x轴平行，设直线l方程为y=t（﹣1＜t＜1）， 则M（﹣2，t），N（2，t）， ∵kAM=﹣，kAN=， ∴kAM?kAN=﹣?=﹣1， 解得：t=或t=﹣1（舍）， ∴直线l方程为：y=． 点评：本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题． 20. （本小题满分14分） 已知函数． （1）若函数在区间上不是单调函数，试求的取值范围； （2）设函数，如果存在 ，对任意都有成立，试求的最大值． 参考答案： 解:（1）由题意知，在区间内有不重复的零点…………1分 由，得………………………………………………2分 ∵，∴…………………………………………………………3分 令，…………………………………………………4分 故在区间上是增函数………………………………………………5分 其值域为，∴的取值范围是……………………………………6分 （2）∵， 由已知得：在区间上恒成立， 即…①…………………………………………7分   当时，不等式①成立………………………………………………………………8分   当时，不等式①化为：…②………………9分   令，由于二次函数的图像是开口向下的抛物线， 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又………………10分   ∴不等式②恒成立的充要条件是，即，   ，∵这个关于的不等式在区间上有解， ∴，即，………………………11分 ，又，故……………………12分 从而，此时唯有符合条件……………………………………14分 21. 如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2， =2，△DF1F2的面积为． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2， 由=2，得|DF1|==c， 从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1． 从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=， 因此|DF2|=， 所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1， 因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，   y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆