2022年湖南省永州市小甲中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年湖南省永州市小甲中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是 （  ） （Ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　     A．　　 B．     C．　　               D． 参考答案： C 略 2. 已知（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A.   B. 1     C.            D. 2 参考答案： D 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是         （   ） A.          B.          C.      D. 参考答案： B 4. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则该等差数列的公差                 (    )  A. 　　 B. C. 　 D. 参考答案： B 略 5. 数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5等于(     ) A．1 B． C． D． 参考答案： B 考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：利用“裂项求和”即可得出． 解答： 解：∵， ∴…+==． ∴． 故选B． 点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键． 6. 集合M={x|x=,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是         (       )  A.MN          B.NM              C.M=N                       D.M∩N= 参考答案： A 7. 设x、y满足  则                         A．有最小值2，最大值3                   B．有最小值2，无最大值     C．有最大值3，无最大值                  D．既无最小值，也无最大值 参考答案： B 做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B. 8. 命题若，则是的充分而不必要条件： 命题函数的定义域是，则（    ） A．“p或q”为假 B．p假q真 C．p真q假    D．“p且q”为真 参考答案： 【知识点】复合命题的真假．A3 【答案解析】B 解析：∵|a+b|≤|a|+|b|， 若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假． 又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2． 故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真命题．故选B． 【思路点拨】若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q为真命题． 9. 如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30°，则顶点C1到平面的距离的最大值是      （  ） A.     B.   C.      D. 参考答案： B 直线CA在平面上移动， CA与平面所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。 10. （5分）（2012?朝阳区一模）已知点集A={（x，y）|x2+y2﹣4x﹣8y+16≤0}，B={（x，y）|y≥|x﹣m|+4，m是常数}，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M，N．若点D（m，4）在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是（　　） 　 A． 1 B． 2 C． D． 4 参考答案： B 由题意，点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部 当D运动到O′时，△DMN的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形， 所以面积为2 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数的反函数是，且函数过点，则                    . 参考答案： 答案：2 12. 已知，则的最大值是           参考答案： 略 13. 若变量，满足约束条件，则的最小值为      ． 参考答案： 14. 设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置． （1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置； （2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置． 参考答案： （1）6；（2） 15. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是　     　． 参考答案： 30 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数． 【解答】解：模拟执行程序，可得 A=3，N=1，输出3，N=2， 满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3， 满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4， 满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5， 不满足条件N≤4，结束． 则这列数中的第3个数是30． 故答案为：30． 16. 若，则        参考答案： 17. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______． 参考答案： 200 【分析】 由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果． 【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25， 所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200 故答案为：200 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤． 参考答案： 【考点】其他不等式的解法；交集及其运算． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②． 解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为[0，]． （Ⅱ）证明： 由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤， ∴N=[﹣，]， ∴M∩N=[0，]． ∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤， 故要证的不等式成立． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题． 19. 设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:； (Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值． 参考答案： (Ⅰ)证明：       ………………………6分 (Ⅱ)， ， （1）当时,∵，，∴恒成立， 即,在上单调递增, 所以. （2）当时,∵，，∴恒成立， 即,在上单调递减, 所以. （3）当时，得 在上单调递减,在上单调递增, 所以  ………………………12分 20. 为了了解重庆各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“重庆市有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25) a 0.5 第2组 [25，35) 18 x 第3组 [35，45) b 0.9 第4组 [45，55) 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值； （Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率. 参考答案： （Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为， 再结合频率分布直方图可知n=, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，     …4分 （Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人， 所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人                 ………….8分 （Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1. 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)， (A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，      …….…10分  ∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：.  …….…12分 21. （12分）某班有两个课外活动小组组织观看奥运会，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张. （1）       求两人都抽到足球票的概率； （2）求两人中至少有一人抽到足球票的概率. 参考答案： 解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从张二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，于是                               ……………………………………2分 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件。……………………………………4分 （1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A、B同时发生，根据相互独立事件的乘法概率公式，得到 ………………………7分 因此，两人都抽到足球票的概率是     ………………………8分 （2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件、同时发生）的概率为      ………………………9分 所以，