2022年湖南省岳阳市临湘育才中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年湖南省岳阳市临湘育才中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是   A.         B.     C.         D. 参考答案： 答案：B 解析：由，故选B. 2. 阅读右面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是 A. 2        B.       C. 3       D. 【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第五次循环，，第六次不满足条件，输出，选D. 参考答案： 第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，第五次循环，，第六次不满足条件，输出，选D. 【答案】D 3. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则等于 A -2            B               C              D 2 参考答案： 答案：D 4. （04全国卷I文）从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是                                                                                                                               （    ）        A．                      B．                      C．                    D． 参考答案： 答案：C 5. 曲线在点处的切线与轴及直线所围成的三角形的面积为(　　) A.           B.          C.          D. 参考答案： B 略 6. 已知0为原点，双曲线=1(a>0)上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为   A．    B．    c．    D． 参考答案： C【知识点】双曲线及其几何性质H6 渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点， 过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是 A（，），|OA|=| | ，P点到OA的距离是：d= ∵|OA|?d=1，∴||? .=1， ∵-n2=1，∴a=2，∴c=，∴e=． 【思路点拨】求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率． 7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(      ) A.   B.   C.   D. 参考答案： D 由几何体的三视图知该几何体是一个边长为正方体与一个半径为半球的组合体,所以其体积为,选D. 8. 若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】复数的基本概念． 【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出． 【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数， ∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0， ∴cosθ=﹣． 则tanθ==﹣． 故选：B． 9. 已知正项等差数列{an}满足a1+a2014=2，则+的最小值为(     ) A．1 B．2 C．2013 D．2014 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的性质结合已知求得a2+a2013=2，进一步得到，则+=（）（+），然后利用基本不等式求最值． 【解答】解：∵数列{an}为等差数列，则a2+a2013=a1+a2014=2， ∴， 又an＞0， 则+=（）（+） =1+． 上式当且仅当a2=a2013=1时取“=”． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查了基本不等式求最值，是基础题． 10. 已知i是虚数单位，则等于 A. B. C. D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则使成立的的取值范围是             参考答案： 12. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0．625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0．162 f(1.40625)＝－0.054   那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为___________ 参考答案： 1.4 13. 在的展开式中，系数为有理数的项的所有系数之和为______． 参考答案： 225   考点：二项式定理 14. 设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为        ． 参考答案： [，+∞） 【考点】基本不等式． 【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围 【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1， 又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立 故必有6a≥a+1，解得a≥ 故答案为[，+∞）. 15. 若变量x，y满足约束条件，则x＝3x＋2y的最大值为_______ 参考答案： 17 16. 若，则___________. 参考答案： 17. 某些篮球队的12名成员来自高一、高二共10个班级，其中高一（3）班，高二（3）班各有2人，其余班级各有1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为____ 参考答案： 【分析】 先求基本事件总数，再求6人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这6人来自不同班级的概率。 【详解】由题得从12名成员中选6人有种选法，即基本事件总数为，这6人来自不同班级有三种情况：a.两人分别来自高一（3）班和高二（3）班，余下4人来自其它4个不同班级，b. 1人来自高一（3）班或高二（3）班，余下5人来自其它5个班级，c.6人来自除高一（3）班和高二（3）班各的其它6个班级，基本事件个数为，故6人来自不同班级的概率为. 【点睛】本题考查利用计数原理求概率，在计算基本事件时运用了分类计数原理，解题关键是分清情况求6人来自不同班级的种数。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (13分)设L为曲线C:在点(1,0)处的切线. (I)求L的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 参考答案： 解: (I)设,则.所以. 所以L的方程为. (II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于.  满足,且. 当时,,,所以,故单调递减; 当时,,,所以,故单调递增. 所以,(). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:即变形为,记,则, 所以当时,,在(0,1)上单调递减; 当时,,在(1,+∞)上单调递增. 所以.) 略 19. （10分）（2015?泰州一模）已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】： 几种特殊的矩阵变换． 【专题】： 矩阵和变换． 【分析】： 计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可． 解：∵，∴， ∴， 设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'）， ∴． 代入l'， l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2． 【点评】： 本题考查了矩阵的变换，属基础题． 20. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是BC的中点，F是CC1上一点. （1）当时，证明：B1F⊥平面ADF； （2）若，求三棱锥的体积. 参考答案： （1）见解析（2） 试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积. 试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以， 在直三棱柱中，因为底面，底面，所以, 因为，所以平面，因为平面，所以. 在矩形中，因为， 所以，所以，所以, （或通过计算，得到为直角三角形） 所以，因为，所以平面. （2）解：因为平面，, 因为是的中点，所以，在中，, 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 21. 已知函数． (1)解不等式； (2)设函数f(x)的最小值为t，实数a、b满足，且． 求证：． 参考答案： （1）；（2）见解析 【分析】 （1）不等式为，利用零点分段法解不等式； （2），所以，构造柯西不等式 ，证明不等式. 【详解】（1），即. 则不等式等价于或或 可解得或或无解. 所以原不等式的解集为. （2）因为，当且仅当取等号， 所以函数的最小值为即. 由柯西不等式：， 所以，即，当且仅当 即时取等号. 又，所以当且仅当时等号成立. 【点睛】本题考查零点分段法解不等式和利用柯西不等式证明意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，柯西不等式在使用时经常会变形使用，所以需熟练掌握柯西不等式的形式，注意构造. 22. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.   (1) 现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望. (2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案： A：所以芒果以10元/千克收购； B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 参考答案： 解：（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个. 则的可能取值为0,1,2,3. ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. （6分） （2）方案A： 方案B： 低于250克：元 高于或等于250克元 总计元 由，故B方案获利更多，应选B方案. （12分）