2022年河南省洛阳市孟津县平乐高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年河南省洛阳市孟津县平乐高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有(   ) Ａ.种　　　　Ｂ.种　　　Ｃ.种　　　　Ｄ.种 参考答案： C 2. 已知函数的图象为C，为了得到函数的图象只需把C上所有的点 A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 参考答案： C 3. 给出下列命题： ①至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；     ②，有； ③，使得；      ④，对，使得。 其中真命题的个数为  （    ） A．1         B．2　　   　C．3　 　　　D．4 参考答案： B 略 4. 已知函数f(x)满足：，，则等于         A．2　　　B．　　　C．－3　　D. 参考答案： B 略 5. 用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（　　） A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2 C．（k+1）2 D． 参考答案： B 【考点】数学归纳法． 【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案． 【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12 n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12 比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2 故选B． 6. 如图，已知为△内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（    ）   （A）     （B）     （C）     （D） 参考答案： B 略 7. 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是（     ）    A．②③④⑤      B．②④⑤        C．②⑤       D．①②③④⑤ 参考答案： 　A 　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知． 8. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 试题分析：事件A的选法有种，事件B的选法有，所以。故选B。 考点：条件概率 点评：求条件概率，只要算出事件B和事件A的数量，然后求出它们的商即可。 9. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是（　　） A. B.      C.     D. 参考答案： D 10. 设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定 参考答案： B 试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值． 解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点， 即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4， ∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5， ∴P（ξ＞4）=0.5， 由正态曲线的对称性知μ=4， 故选：B． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是          参考答案： 37 12. 设函数，当时，恒成立，则a的取值范围是________. 参考答案： [1,+∞) 【分析】 求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围. 【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 13. 已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为___. 参考答案： -112 【分析】 由二项式系数的最大项是第3项和第4项，求得，得到， 再由二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，二项式的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项， 所以二项展开式共有6项，所以，则， 又由二项式的展开式的通项为， 令或，解得或， 则展开式的常数项为． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式系数的最大项，以及二项展开式的通项，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14. 甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中的成绩可用下面的茎叶图表示. 则在这次测验中成绩较好的是    ▲    组． 参考答案： 甲 略 15.  已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于_____________. 参考答案： 解析：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则 。由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知。   16. 将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则1号盒子中有球的不同放法种数为　　　　　.  参考答案： 37 17. 已知函数，若f（x）≥ax在R上恒成立，则a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣4，1] 【考点】函数恒成立问题． 【分析】依题意，分x≤0、x=0与x＞0三类讨论，分别求得a的取值范围，最后取其交集即可得到答案． 【解答】解：∵，f（x）≥ax在R上恒成立， ∴当x≤0时，x2﹣4x≥ax恒成立， x=0时，a∈R；① x＜0时，a≥（x﹣4）max，故a≥﹣4；② 当x＞0时，f（x）≥ax恒成立，即ex﹣1≥ax恒成立， 令g（x）=ex﹣1﹣ax（x＞0），则g（x）≥0（x＞0）恒成立， 又g（0）=0， ∴g（x）=ex﹣1﹣ax（x＞0）为（0，+∞）上的增函数， 则g′（x）=ex﹣a≥0（x＞0）， ∴a≤（ex）min=e0=1；③ 由①②③知，﹣4≤a≤1， 故答案为：[﹣4，1]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 给出命题p：a（1﹣a）＞0；命题q：y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】先求出命题p，q为真命题时对应的等价条件，然后利用p∧q为假命题，p∨q为真命题，确定a的取值范围． 【解答】解：命题p为真?a（1﹣a）＞0?0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 命题q为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 命题“p∨q”为真，“p∧q”为假?p，q中一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 当p真q假时，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） 当p假q真时，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 所以a的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查了复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，属于基础题． 19. （本小题满分12分） 如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。 （I）求实数b的值； （11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．   参考答案：   略 20. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米． （Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 参考答案： 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围． （2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论． 解答： 解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米 ∵，∴ ∴ 由SAMPN＞32得 又x＞0得3x2﹣20x+12＞0 解得：0＜x＜或x＞6 即DN的长取值范围是 （Ⅱ）矩形花坛的面积为 当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米． 点评： 本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积． 21. (本题满分13分)已知抛物线过点。 （1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程； （2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？ 若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由。 （4）   过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值。 参考答案： .解：（1）将（1，-2）带入，得，所以   故所求抛物线的方程为，其准线方程为.........................2分     （2）假设存在符合题意的直线，其方程为 由得    ..........................3分   直线与抛物线有公共点， 解得..........................4分 由直线与的距离可得，解得..........................5分 ,符合题意的直线存在，其方程为。..........................7分 略 22. （本小题满分12分）已知，证明：. 参考答案： 证明：因为，要证，      只需证明.       ……………………….4分 即证. ……7分      即证，即.      由已知，显然成立.  ……………………..10分      故成立.   ………………….12分 （其它证法参照赋分） 略