2022年河南省南阳市内乡县第三高级中学高三数学理联考试卷含解析

2022年河南省南阳市内乡县第三高级中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义域为R的函数满足，且的导函数，则的解集为（    ）  A．    B．    C．        D． 参考答案： D 2. 函数的零点所在的一个区间是（    ） A. (－2,－1)        B. (－1,0)          C.(0,1)           D.(1,2) 参考答案： B 3. 已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　） A．2 B．2 C．   D． 参考答案： D 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值． 【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a， 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a， 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a， 可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点， 由C（0，4），F（，0），可得A（，2）， 代入抛物线的方程可得，4=2p?，解得p=2， 即有a=+=，A（，2）， 可得C到直线OA：y=2x的距离为d==， 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=， 直线OA被圆C所截得的弦长为， 故选D 【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 　 4. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是                                          (     )   A.     B.    C.        D. 参考答案： C 略 5. 已知等差数列{}中，，则tan()等于 (A)  (B)    (C)-1    (D)1 参考答案： 6. 在半径为的球面上有三点，如果，，则球心到平面的距离为 A.             B.           C.           D. 参考答案： C 【知识点】点、线、面间的距离计算．B4    解析：由题意在△ABC中，AB=cm，∠ACB=60°， 由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16，即半径为8，又球心在面ABC上的射影是△ABC外心，故球心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形， 设球面距为d，球半径为10，故有d2=10282=36，解得d=6故选C． 【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB=cm，∠ACB=60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为=16，即半径为8，由此几何体的结构特征知，用勾股定理求球心O到平面ABC的距离即可． 7. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】解： ==， 在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限． 故选：B． 8. 若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶聚合”点集．现有四个命题： ①若M={（x，y）|y=2x}，则存在正数t，使得M是“t阶聚合”点集； ②若M={（x，y）|y=x2}，则M是“阶聚合”点集； ③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶聚合”点集； ④若M={（x，y）|x2+y2≤1}是“t阶聚合”点集，则t的取值范围是（0，1]． 其中正确命题的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 参考答案： C 【考点】集合的表示法． 【专题】计算题；转化思想；定义法；集合． 【分析】首先，对于①，直接判断即可，对于②：取（2，4），代人验证即可，对于③：取（1，﹣1）验证即可，对于④：则直接根据“t阶聚合”点集进行求解． 【解答】解：对于①：M={（x，y）|y=2x}， ∴（tx，ty）∈M， ∴①正确； 对于②：∵M={（x，y）|y=x2}， ∴取（2，4）， 而点（1，2）?M， ∴②错误； 对于③：取（1，﹣1）为集合M上的一点， 则（2，﹣2）?M， ∴③错误； 对于④：∵x2+2y2≤1，根据题意，得 ∴t2（x2+2y2）≤1， ∵t∈（0，+∞）， ∴t∈（0，1]． ∴④正确； 故选：C 【点评】本题重点考查了集合的元素特征，属于信息给予题，难度中等．准确理解给定的信息是解题的关键 9. 函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】先求出函数的定义域，再利用函数值，即可判断． 【解答】解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1， ∵函数， 当x=2时，f（x）＜0， 当x=﹣2时，f（x）＞0， 当x=时，f（x）＞0， 当x=﹣时，f（x）＜0， 故选：B． 10. 设集合，集合，则 （   ） A．        B．  ? 　C．   ? D． 参考答案： B. 试题分析：由题意得，，，∴，故选B. 考点：集合的运算. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为　　． 参考答案： 【考点】基本不等式；等比数列的性质． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】正项等比数列{an}的公比q=2，由于存在两项am，an，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正项等比数列{an}的公比q=2， ∵存在两项am，an，使得=4a1， ∴=4a1， ∵a1≠0， ∴2m+n﹣2=24， ∴m+n=6． 则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 12. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为　    　． 参考答案： 64+4π 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为长方体挖去一个半球，把三视图中的数据代入公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体挖去一个半球得到的，长方体的棱长分别为4，4，2，半球的半径为2． ∴S=4×4+4×2×4+4×4﹣π×22+=64+4π． 故答案为64+4π． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图和面积计算，属于基础题． 　 13. 已知点在第一象限，且，则的取值范围是      . 参考答案： 14. 已知为等比数列，，则        ． 参考答案： 15. 已知，若，则     _______。 参考答案： 0或2 略 16. A．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）与曲线的交点个数为              . 参考答案： 2; 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则______ 参考答案： 【分析】 对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值. 【详解】解：，可得时，， 时，，又， 两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得． 【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2015?陕西校级模拟）直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（1）变形曲线C的参数方程可得，由同角三角函数基本关系消参数可得； （2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程，由韦达定理和t1=﹣2t2可得斜率k的方程，解方程可得． 【解答】解：（1）变形曲线C的参数方程可得， ∵cos2θ+sin2θ=1， ∴曲线C的直角坐标方程为+=1； （2）设直线l的倾斜角为θ， 可得直线l的参数方程为（t为参数） 代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0 由韦达定理可得t1+t2=，t1t2= 由题意可知t1=﹣2t2，代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0， 即12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k= 【点评】本题考查参数方程和普通方程的关系，涉及三角函数的韦达定理，属中档题． 19. 已知数列{}中，=1，其前n项的和为,且满足(I)求证:数列{}是等差数列； (II)证明:当 时，. 参考答案： （Ⅰ）当时，， ，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列. 6分 （Ⅱ）由（1）可知，， 当时， 从而.......12分 20. 已知函数，关于x的不等式的解集记为A. （1）求A； （2）已知，，求证：. 参考答案： （1）由，得， 即或或 解得或， 所以，集合. （2）证明：∵，，∴， ∴，，， ∵， ∴. 21. 已知向量角为的内角，其所对的边分别为 （1）当取得最大值时，求角的大小；（2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 参考答案： 解：（1）， 令 ， 原式，当 ，即 ， 时， 取得最大值. （2）当 时， ，.由正弦定理得：（R为△ABC的外接圆半径） 于是 . 由，得，于是，，所以b2+c2的范围是.   22. 为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人） 社团 相关人数 抽取人数 模拟联合国 24 a 街舞 18 3 动漫 B 1 话剧 12 c （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选人担任指导小组组长，求这人分别来自这两个社团的概率． 参考答案： （Ⅰ）由表可知抽取比例为，故，， ………6分 （Ⅱ）设“模拟联合国”人分别为 ； “话剧”人分别为．则从中任选人的所有基本事件为， ，共个． ……8分 其中人分别来自这两个社团的基本事件为 ，共个．．10分 所以这人分别来自这两个社团的概率……．12分