2022年河南省郑州市第一〇二中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年河南省郑州市第一〇二中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. sinx=0是cosx=1的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可． 【解答】解：若sinx=0，则x=kπ，k∈Z，此时cosx=1或cosx=﹣1，即充分性不成立， 若cosx=1，则x=2kπ，k∈Z，此时sinx=0，即必要性成立， 故sinx=0是cosx=1的必要不充分条件， 故选：B 2. 已知函数若成立，则的最小值为（） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 3. 下列函数图像中，满足的只可能是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D 解：∵， 说明在定义域上不是单调递增或递减， 由图像排除，且项不符合， 故选：． 4. 已知复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则z的共轭复数的虚部为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则答案可求． 【解答】解：由（1+i）z=（1﹣i）2， 得． ∴， ∴z的共轭复数的虚部为1． 选D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 5. 复数＝ (          )   A.   B.   C．  D． 参考答案： A 略 6. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，， 当时，，则（  ） A． 670        B．334      C.   -337     D．-673 参考答案： C 7. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)． A．13     B．35     C．49      D．63 参考答案： C 略 8. 下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是(     ) A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）= D．f（x）=ln 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论． 【解答】解：函数f（x）=sinx，是奇函数，在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件． 函数f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不满足条件， 函数f（x）=是偶函数，不满足条件， 故选：D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质． 9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（     ） (A) (B) (C) (D) 参考答案： A 在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. 10. 一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（　　） A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样 参考答案： A 【考点】系统抽样方法；收集数据的方法． 【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法． 【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号． 本题中，把每个班级学生从1到50号编排， 要求每班编号为14的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法， 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，若函数有零点，则的取值范围是__________. 参考答案： . 试题分析：，当且仅当即时等号成立，则，若函数有零点，则的取值范围是. 考点：基本不等式及零点问题. 12. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为       ． 参考答案： 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案． 【解答】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键． 13. 某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有       种.(用数字作答) 参考答案： 30 14. 设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是         ． 参考答案： 考点：1.正三棱柱的性质；2.球的切接问题. 【名师点睛】本题考查正三棱柱的性质与球的切接问题，属中档题；球与旋转体的组合，通常通过作出它的轴截面解题；球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 15. 已知       。 参考答案： 16. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为          ． 参考答案： 略 17. 若函数的最小值为，最大值为，则＝_________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质; 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【试题分析】因为，所以，所以，. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知，点A在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点B．若点B的坐标为(－3,4)，求点A的坐标． 参考答案： 解：．         …………………………………4分 设，则由，得．…………………………8分 所以，即．  …………………………………………10分   19. 若数列的前项和为，对任意正整数都有，记 （Ⅰ）求,的值； （Ⅱ）求数列的通项公式； (Ⅲ)若求证：对任意． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，得，解得．   …………1分 ，得，解得．   …………3分 （Ⅱ）由          ……①，             当时，有 ……②，　　           …………4分 ①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　…………５分 数列是首项，公比的等比数列　　　　…………６分 ，　　　　　　　　　…………７分 ．　　　　　　　　…………８分 (Ⅲ)， ，　……(1) ，       ……(2) …………， ， ，       …………()　　　　　…………９分 (1)+(2)+ ……+()得，……10分 ，，当时，也满足上式， 所以                                  …………11分　 ，　　　　　　　　…………12分 ，　　　　　　　…………13分 ，对任意均成立．　…………14分 略 20. （本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（1）求k的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值。 参考答案： 解：（I）设隔热层厚度为xcm， 由题设，每年能源消耗费用为    再由                …………3分 而建造费用为                               …………4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为                                                       …………6分    （II） 解得（舍去）                            …………8分 当 故x=5时f（x）的最小值点， 对应的最小值为 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。       …………12分 略 21. 已知椭圆过点． （1）求椭圆C的方程，并求其离心率； （2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为，直线与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由． 参考答案： （1）见解析；（2）见解析． （1）由椭圆方程椭圆过点，可得． ∴，∴椭圆的方程为，离心率． （2）直线与直线平行．证明如下： 设直线，， 设点的坐标为，， 由得， ∴，∴，同理， ∴， 由，，有， ∵在第四象限，∴，且不在直线上．∴， 又，故，∴直线与直线平行． 22. 设函数 . （I）讨论f(x)的导函数f’(x)的零点的个数； （II）证明：当a>0时. 参考答案：