2023年安徽省铜陵市十八中学高二数学文月考试题含解析

2023年安徽省铜陵市十八中学高二数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点与原点的距离是(      )   A. l        B．         C．2        D．2 参考答案： B 略 2. 设 P为椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左右焦点，若，则的面积为（    ） A.2              B.3             C.4           D. 5 参考答案： C   3. 若是双曲线上一点，且满足，则该点一定位于双曲线（    ） A．右支上      B.上支上     C.右支上或上支上      D.不能确定 参考答案： A 4. 在数列中，如果存在常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期. 已知周期数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前2015项的和为（    ） A．1344 B．1343 C．1342 D． 1341 参考答案： A 5. 在直角坐标系中，直线的斜率是                 （     ） A．     B．        C．          D． 参考答案： D 略 6. 点P、Q在曲线上，O是坐标系原点，P、Q 在轴上的射影是M、N，并且平分，则的最小值是（    ） A. -1           B.0           C. 1            D. 2  参考答案： B 略 7. 设、是定义域为R的恒大于零的可导函数，且，则当时有(     ) A.            B. C.              D. 参考答案： D 8. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．  上述事件中，是对立事件的是（　　） A．① B．②④ C．③ D．①③ 参考答案： C 【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件． 【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件， 在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选：C 【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件． 9. 若集合≤3，,≤0，，则（    ）     A. “”是“”的充分条件但不是必要条件     B. “”是“”的必要条件但不是充分条件     C. “”是“”的充要条件     D. “”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件 参考答案： B 略 10. 各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S4n等于（   ） （A）80　　　　（B）30             (C)26         (D)16 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是　    　． 参考答案： 【考点】平行投影及平行投影作图法． 【分析】首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果． 【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α， 当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为1的正方形， 此时面积最大，是2××1×= 当CD⊥平面α时，射影面的面积最小， 此时构成的三角形底边是1，高是直线CD到AB的距离，为，射影面的面积是， 故答案为：[] 【点评】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题． 12. 已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是            ． 参考答案： 略 13. 抛物线y2=4x的焦点坐标为　   　． 参考答案： （1，0） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程， p=2∴焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题． 14. 如图：把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 和平面所成的角的大小为------___________。 参考答案： 15. 若△ABC三边长分别为a、b、c，内切圆的半径为r，则△ABC的面积，类比上述命题猜想：若四面体ABCD四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体ABCD的体积V=　　． 参考答案： r（S1+S2+S3+S4） 【考点】F3：类比推理． 【分析】利用等体积进行推导即可． 【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r， 所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． ∴V=（S1+S2+S3+S4）r． 故答案为：（S1+S2+S3+S4）r． 16. 函数则的值是  ▲  ． 参考答案：   略 17. 已知双曲线C： (a>0,b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为             . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知等腰直角三角形，其中 ∠=90o，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、． （1）求证：⊥； （2）求二面角的平面角的余弦值． 参考答案： 解：（1）∵点A、D分别是、的中点， ∴.                                                        ∴∠=90o.  ∴. ∴ ,          ------------2分 ∵, ∴⊥平面.       -------------------------4分    ∵平面,     ∴.       -----6分 （2）法1：取的中点，连结、． ∵,     ∴.                                      ∵,      ∴平面. ∵平面,           ∴.                     ∵          ∴平面. ∵平面,      ∴. ∴∠是二面角的平面角.     ------------------10分 在Rt△中, ， 在Rt△中, ， .             --------------13分 ∴ 二面角的平面角的余弦值是.    ---------------14分 略 19. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分． 定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似. （1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由； （2）若椭圆与椭圆相似，求的值； （3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案： （1），相似；  ……4分 （2）； ……8分 （3）设、、常数，代入，得，……10分 代入， 整理得，……12分 由，……14分 得，或，.  ……16分                                                   20. APEC是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]）. （1）求选取的市民年龄在[30,35)内的人数； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率. 参考答案： （1）30人；（2）. 【分析】 （1）由频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，进而可求出人数； （2）先由分层抽样，确定应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，再用列举法，分别列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）易知，第4组的人数为，故第3，4组共有50名市民， 所以用分层抽样的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组；第4组. 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名志愿者分别为，第4组的2名志愿者分别为，则从5名志愿者中选取2名志愿者的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求频数，以及古典概型的概率问题，会分析频率分布直方图，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 21. 设. （1）求的单调增区间； （2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，求△ABC面积的最大值. 参考答案： （1）的单调递增区间是（2） 【分析】 利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】 （1）令，解得： 的单调递增区间为： （2）         ，即 由余弦定理得：（当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号） 即面积的最大值为： 【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型. 22. （本小题满分12分） 已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． （I）求展开式的第四项； （II）求展开式的常数项. 参考答案： 解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为、、，   所以+=，即.   解得.  ……………