2022年辽宁省沈阳市红菱学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年辽宁省沈阳市红菱学校高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线C: ，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P、Q两点，且P、Q两点在准线上的投影分别为M、N两点，则S△MFN=（   ） A. 8                B.              C.              D. 参考答案： B 过焦点F且斜率为 的直线方程为，与联列方程组解得，从而,选B. 2. 设函数，若对于任意xR，都有成立，则|x1-x2|的最小值为(    )   A．4   B．2    C．1   D． 参考答案： B 略 3. 已知,则的值为(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解. 【详解】由诱导公式：， 再由二倍角公式： 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 4. 复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数（其中i为虚数单位），则z=（　　） A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 参考答案： A 【考点】复数的基本概念． 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简i（2﹣i），再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵i（2﹣i）=1+2i， 又复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数， ∴z=1﹣2i． 故选：A． 　 5. 设定义在R上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为（   ） A．(1,+∞)         B．(－∞,0)∪(1,+∞)       C．(－∞,0)∪(0,+∞)       D．(0,+∞) 参考答案： D 6. 已知集合A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a≥﹣4 C．a≤4 D．1≤a≤4 参考答案： A 考点： 并集及其运算．  专题： 集合． 分析： 求出集合A，B，利用条件A∪B=R，确定a满足的条件即可． 解答： 解：A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}={x|﹣a≤x≤a}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}， 若A∪B=R，则，即， 解得a≥4， 故选：A． 点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用条件A∪B=R，确定两个集合关系是解决本题的关键． 7. 已知函数且，为其反函数，若，则 （A）        （B）       （C）      （D） 参考答案： D 8. 若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G的轨迹方程为（   ） A．                   B． C．                   D． 参考答案： B 9. 已知集合，则（   ）                    参考答案： D 10. 是函数的零点,,则 ① ② ③ ④ 其中正确的命题为 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平行四边形中，已知，，，为的中点，则     ． 参考答案： 12. 如果直线y = x+a与圆有公共点，则实数的取值范围是           。 参考答案： –≤a≤ 13. 已知等差数列{an}前n项和为Sn. 若m>1, m∈N且 , 则m等于____________. 参考答案： 10 14. 设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是          ． 参考答案： 15. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人参观展览，至少有1名女生入选的概率为，则小组中女生人数为          参考答案： 2 16. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，若点A，B在l上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为 参考答案： 【分析】 先根据可得，直线垂直于x轴，确定△MFN的形状，然后可求其内切圆半径. 【详解】抛物线的焦点为,因为，所以直线垂直于x轴，所以,所以，,因为，所以△MFN为直角三角形，且，设其内切圆半径为，则有，解得. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 17. 已知函数的导函数，则        . 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明：对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，由参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到a的范围； （Ⅱ）设h（x）=xlnx﹣x2，求出导数，判断单调性，可得x≥2时，xlnx＜x2﹣，即＞，则n≥2时，＞=﹣，再由裂项相消求和，化简整理，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx﹣ax2的导数为f′（x）=1+lnx﹣2ax， 函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数，可得f′（x）≤0在x＞0恒成立， 即为2a≥在x＞0恒成立， 设g（x）=，g′（x）=， 当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减． 可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1． 则2a≥1，解得a≥； （Ⅱ）证明：设h（x）=xlnx﹣x2， h′（x）=1+lnx﹣x，h″（x）=﹣1， 当x＞1时，h″（x）＜0，h′（x）＜h′（1）=0， h（x）在（1，+∞）递减，即有h（x）＜h（1）=﹣， 即x＞1时，xlnx﹣x2＜﹣， x≥2时，xlnx＜x2﹣， 即＞， 则n≥2时，＞=﹣， 即有++…+＞1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣ =1+﹣﹣=． 故对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞． 19. 已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间． （Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ） =，… ∴T==π，从而可求ω=1，… ∴f（x）=sin（2x+）… 由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：， 所以f（x）的单调递增区间为：．… （Ⅱ）∵f（A）=0， ∴，又角A是锐角， ∴， ∴，即．… 又a=1，b+c=2， 所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc， ∴1=4﹣3bc， ∴bc=1．… ∴．… 20. 在中，满足：，是的中点． （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若点是边上一点，,且，求的最小值． 参考答案： 略 21. 已知 且； ：集合，且． 若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围. 参考答案： 略 22. 参数方程选讲．     已知平面直角坐标系xoy．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为 ，曲线C的极坐标方程为 ．     (I)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；     (Ⅱ)若Q为曲线c上的动点，求PQ中点M到直线 （t为参数）距离的最小值． 参考答案： 略