2022年河南省新乡市张堤中学高一数学理月考试卷含解析

2022年河南省新乡市张堤中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差为(　　) A．7               B．6            C．2              D．3 参考答案： D 2. 设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（?uA）∪（?uB）等于（　　） A．{1} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4} 参考答案： C 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】由全集U，以及A与B，找出A与B的补集，求出补集的并集即可． 【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}， ∴?uA={4}，?uB={0，1}， 则（?uA）∪（?uB）={0，1，4}． 故选C 3. 函数的定义域是    A. B. C. D. 参考答案： C 略 4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的函数的零点的公式，可得零点，利用奇函数的性质求出．当x≤0时的零点，求出不等式的解集，然后推出结果． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，函数的对称轴为：x=1，开口向上，x2﹣2x﹣3=0解得x=3，x=﹣1（舍去）． 当x≤0时，函数的开口向下，对称轴为：x=﹣1，f（x）=0，解得x=﹣3，x=1（舍去），函数是奇函数，可得x=0， 当x≤0时，不等式f（x）≥0， 不等式的解集为：[﹣3，0]． 当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为：4． 故选：A． 5. 已知集合，,，且，则整数对的个数为(      ) A.20          B. 25          C. 30         D. 42 参考答案： C 6. 下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(     ) A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：由茎叶图中的数据得， 甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92， 则甲的平均成绩．甲=（88+89+90+91+92）=90； 设污损数字为x， 则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x， 则乙的平均成绩．乙=[83+83+87+99+（90+x）]=88．4+， 当x=8或9时，．甲≤．乙， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为； 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 7. 圆的圆心坐标和半径分别为 A． B．   C．   D． 参考答案： D 8. 下列函数中既是偶函数又是区间(－∞,0)上的增函数的是（） A． B． C． D． 参考答案： C 9. 若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 参考答案： A 【考点】三点共线． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值 【解答】解：∵A（﹣2，3），B（3，﹣2）， ∴直线AB的斜率k1==﹣1 同理可得：直线AC的斜率k2=， ∵A、B、C三点共线， ∴直线AB与直线AC的斜率相等，即k1=k2， 得=﹣1，解之得m=1， 故选：A． 【点评】本题给出三点共线，求参数m的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题． 10. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是 A．    B．   C．   D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y=|log2x|﹣10﹣x的零点个数是　    　． 参考答案： 2 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用． 【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象一目了然． 【解答】解：函数y=|log2x|﹣10﹣x的零点个数，就是方程|log2x|﹣10﹣x=0的根的个数， 得|log2x|=10﹣x， 令f（x）=|log2x|，g（x）=10﹣x， 画出函数的图象，如图： 由图象得：f（x）与g（x）有2个交点， ∴方程|log2x|﹣10﹣x=0解的个数为2个， 故选答案为：2 【点评】本题考查了函数根的存在性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道基础题． 12. 设，，，则a、b、c之间的大小关系是_____. 参考答案： 【分析】 根据诱导公式知，可由正弦函数单调性知，有知，即可比较出大小. 【详解】因为 所以 因为知， 所以，故填. 13. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________。 参考答案： 14. 定义运算为：，例如：，则的取值范围是          ． 参考答案： (0,1] 由题意可得，，∵时，，综上可得，的取值范围是，故答案为.   15. 如图，等腰梯形的底边长分别为8和6，高为7，圆为等腰梯形的外接圆，对于平面内两点，（），若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围是          ． 参考答案： [2,8] 16. 下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为         ． 参考答案： 17. （5分）化简（1+tan2α）cos2α=        ． 参考答案： 1 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由条件利用同角三角函数的基本关系，计算求得结果． 解答： （1+tan2α）cos2α=?cos2α=1， 故答案为：1． 点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某出租车租赁公司收费标准如下：起价费10元（即里程不超过5公里，按10元收费），超过5公里，但不超过20公里的部分，每公里按1.5元收费，超过20公里的部分，每公里再加收0.3元． （1）请建立租赁纲总价关于行驶里程的函数关系式； （2）某人租车行驶了30公里，应付多少钱？（写出解答过程） 参考答案： (1)；(2)元. 考点：分段函数的实际应用. 19. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD． （1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE； （2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE． （2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值． 【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…， ∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…， 又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°… ∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…， ∵AA1⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴DE⊥AA1．…， ∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…， ∵DE?平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…． （2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，… ∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C ∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D ∴EF∥A1D…， 可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…． ∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1 ∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…， ∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为… 【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题． 20. （本小题满分12分）设函数, （1）求证：不论为何实数总为增函数; （2）确定的值，使为奇函数及此时的值域． 参考答案： (1)f(x)的定义域为R, 则=, , , 即,所以不论为何实数总为增函数． (2)f(x)为奇函数, ,即, 解得: 由以上知, ,, 所以的值域为 21. 已知点A、B、C、D的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα), α∈(,). (1)若||=||，求角α的值； (2)若·=-1，求的值. （3）若在定义域α∈(,)有最小值，求的值。 参考答案： (2)由·=-1得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1. ∴sinα+cosα=.                  6分 又=2sinαcosα.   7分 由①式两边平方得1+2sinαcosα=, ∴2sinαcosα=.                      8分 ∴.                  9分 （3）依题意记                    10分 令    (,)                             11分 关于的二次函数开口向上，对称轴为  在上存在最小值，则对称轴                      12分 且当时，取最小值为                      14分   22. 已知函数对任意都有，且. （1）求的值； （2）求证：. （3）若的最大值为10，求的表达式. 参考答案： （1）因为 . 且对任意都有，且. 所以对 ，对. 于是 . （2）由于对 ，对， 所以二次函数的对称轴满足： ，所以 . 由（1）知， ，所以 ，于是 . （3）因为的最大值为10，所以在 的最大值为10， 又因为二次函数开口向上且对称轴满足：，所以在单调递减，所以 ，于是.又由（1）知， ，所以 联立解得 ，  所以的表达式为 .