2023年吉林省长春市市育成中学高三数学理模拟试题含解析

2023年吉林省长春市市育成中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m， ，，则A、B两点的距离为 A．m        B．m C．m        D．m 参考答案： D 2. 已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤﹣2 B．m≤﹣4 C．m＞﹣5 D．﹣5＜m≤﹣4 参考答案： D 【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题． 【分析】由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0，x1?x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2， 由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得： x1+x2=﹣（m+2）＞0，x1?x2=m+5＞0 解得：﹣5＜m＜﹣2， 又由△＞0得， m＜﹣4，或m＞4， 故：﹣5＜m＜﹣4 故选D 【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组，是解答本题的关键． 3. 进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：A．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是 A.         B. C.         D. 参考答案： C 4. 的展开式中的系数是                                 （    ） A．6                 B．12               C．24               D．48 参考答案： C ，令 的系数为．故选． 5. 已知全集，，，则集合等于（    ） A．      B． C．               D． 参考答案： B 6. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最小值． 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　 由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由勾股定理得|AB|2=a2+b2，整理得：|AB|2=（a+b）2﹣2ab， 又∵ab≤（） 2， ∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（） 2=（a+b）2， 则|AB|≥（a+b）． ∴≥=，即的最小值为． 故选C． 7. 设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面∥，，，则∥；命题：∥，⊥，，则⊥，则下列命题为真命题的是 （     ） A．或      B．且　　      C．或　      D．且 参考答案： C 略 8. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 参考答案： B 9. 描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小时）如下：                  原料         时间 工序 原料A 原料B   原料C 上漆 9 16 10 描绘花纹 15 8 14 则完成这三件原料的描金工作最少需要 A．43小时         B．46小时           C．47小时          D．49小时 参考答案： B 10. 已知复数（其中i是虚数单位），则|z|=（    ） A. B. C. 1 D. 2 参考答案： A 【分析】 利用复数模长的性质即可求解. 【详解】复数， ， 故选：A. 【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是　　． 参考答案： a＞﹣1 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解． 【解答】解：由2x（x﹣a）＜1，得x?2x﹣a?2x＜1， ∴， 设，则f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴当x＞0时， f（x）＞f（0）=﹣1， ∴若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立， 则a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1． 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强． 12. 已知=        ． 参考答案： 略 13. 已知向量满足，且，，则与的夹角为____________ 参考答案： 14. 函数f(x)＝sin2的最小正周期是________． 参考答案： 15. 已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　　． 参考答案： [﹣3，0] 【考点】数列与函数的综合． 【分析】利用已知条件，结合等差数列的性质，，得到an=2n﹣1，n∈N*，然后①当n为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3，②当n为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解 λ≤0，然后推出实数λ的取值范围． 【解答】解：， ?an=2n﹣1，n∈N*? ①当n为奇数时，， 是关于n（n∈N*）的增函数． 所以n=1时f（n）最小值为f（1）=2﹣2+3=3，这时﹣λ≤3，λ≥﹣3， ②当n为偶数时，恒成立， n为偶数时，是增函数，当n=2时，g（n）最小值为g（2）=4+1﹣5=0， 这时 λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3，0]． 故答案为：[﹣3，0]． 【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力． 16. 已知函数   ， ，给出下列结论： ①函数的值域为； ②函数在[0，1]上是增函数； ③对任意，方程在[0，1]内恒有解； ④若存在，使得成立，则实数a的取值范围是. 其中所有正确结论的番号是__________. 参考答案： ①②④ 17. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为         ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图9-13，P是抛物线C：y=x2上—点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q． (I)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程； (Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围． 参考答案： ∵M为PQ的中点， ∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴ 的取值范围是(2，+∞)． 方法二：∴ 当b>0时，=|b|+2>2； 当b<0时, =-b 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2= 4k2(k2+2b)>0． 于是k2+2b>0，即k2>-2b． 所以 可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)．   19. 如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点. （1）求证：平面PAB； （2）设二面角A-PB-C的大小为，求的值. 参考答案： 解：（1）因为底面，所以． 因为△是正三角形，是的中点，所以． 所以，平面． （2）（几何法） 作于，连，则． 所以，是二面角的平面角． 因为，，所以，． 从而，故． ┅15分 （向量法） 以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图． 平面的一个法向量． ，． 设是平面的法向量， 则，取法向量． 故． 略 20. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点. （1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 参考答案： （1）由得， 从而的直角坐标方程为 ，即 时，，所以， 时，，所以. （2）点的直角坐标为，点的直角坐标为， 所以点的直角坐标为，则点的极坐标为， 所以直线的极坐标方程为. 21. 在中，角的对边分别为，且， （1）求的面积； （2）若，求的周长. 参考答案： （1）∵，∴， 即， ∴； （2）∵， ∴ 由题意， ∴， ∵，∴， ∴ ∵，∴． ∴的周长为． 22. 已知函数 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围； （Ⅲ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，.………………2分 因为.    所以切线方程是        ………………4分 （Ⅱ）函数的定义域是.  ………………5分 当时， 令，即，[] 所以或.    ……………………7分 当，即时，在［1，e]上单调递增， 所以在［1，e]上的最小值是； 当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意； 当时，在（1，e）上单调递减， 所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………9分 （Ⅲ）设，则， 依题意， 只要在上单调递增即可。…………………………10分 而 当时，，此时在上单调递增；……………………11分 当时，只需在上恒成立， 因为，只要，则需要，………………………………12分 对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需， 即.     综上.  ……………………………14分 略