云南省曲靖市老厂第一中学2021年高三数学理测试题含解析

云南省曲靖市老厂第一中学2021年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为(     ) A．（￢p）∨（￢p） B．￢（（￢p）∧（￢p）） C．（￢p）∧（￢p） D．￢（p∨p） 参考答案： B 【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q，再利用复合命题的运算性质即可判断出． 【解答】解：命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q， 而A．（￢p）∨（￢p）=￢（P∧q），因此不正确； B．￢（￢p）∧（￢p）=￢（￢（p∨q））=p∨q，正确； C．（￢p）∧（￢p）=￢（p∨q），不正确； D．￢（p∨p），不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的运算性质及其判定方法，属于基础题． 2. 已知、、是共起点的向量，、不共线，且存在m，n∈R使成立，若、、的终点共线，则必有                                      A．m+n=0            B．m－n= 1          C．m+n =1           D．m+ n=－1 参考答案： C 设，因为、、的终点共线，所以设，即，所以，即，又，所以，所以，选C. 3. 已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是 (    ) A．当时，有个零点；当时，有个零点   B．当时，有个零点；当时，有个零点   C．无论为何值，均有个零点   D．无论为何值，均有个零点 参考答案： 4. 若点是角的终边上一点，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，点是角的终边上一点， 根据三角函数的定义，可得， 则，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 若方程有四个不同的实数根，且， 则的取值范围是（    ） A．    B．     C．     D． 参考答案： 6. 已知集合，则等于 A．      B．      C．      D． 参考答案： D 试题分析：， 故答案为D 考点：集合的交集 7. 参考答案： B 8. 设是两个命题：，则是的（    ） A．充分而不必要条件               B．必要而不充分条件 C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件 参考答案： 答案：A 解析：p：，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A 9. 已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（　　） A．4﹣ B．4﹣ C． D． + 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求解xcosθ+ysinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB， 若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则（cosθ+sinθ）=﹣1， 令sinα=，则cosθ=， 则方程等价为sin（α+θ）=﹣1， 即sin（α+θ）=﹣， ∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， ∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1， 则对应的区域为单位圆的外部， 由，解得，即B（2，2）， A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4， 直线y=x的倾斜角为， 则∠AOB=，即扇形的面积为， 则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强． 10. 要得到一个奇函数，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位            B．向左平移个单位 C．向右平移个单位            D．向左平移个单位 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是                                                     . 参考答案： 答案：用代数的方法研究图形的几何性质  12. 函数的最大值是         参考答案： 略 13. 将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是         ． （1） 平面ABC⊥平面ACD    （2）四面体D-ABC的体积是 （3）二面角的正切值是  （4）BC与平面ACD所成角的正弦值是 参考答案：   （3）（4） 14. 对于非零实数，以下四个命题都成立：     ① ；                    ② ；     ③ 若，则；        ④ 若，则．     那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是                  ． 参考答案： 答案：②④ 解析： 对于①：解方程得 a=± i，所以非零复数 a = ± i  使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ?，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 15. 关于圆，有下列命题： ①圆过定点； ②当时，圆与轴相切； ③点到圆上点的距离的最大值为； ④存在，使圆与轴，轴都相切. 其中真命题是               .(写出所有真命题的序号) 参考答案： ①②③ 略 16. 函数的最大值是       。 参考答案： 试题分析：因为且 所以当时，有最大值。 考点：三角函数的性质. 17. 已知函数把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为____________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和． 参考答案： 19. (本题满分14分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3． （Ⅰ）求证：AC⊥DE； （Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积． 参考答案： （Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F． 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC． 而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB． E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE． （Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF． S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB． S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．  由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，， 所以PB＝4PD，即．解得PD＝ VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝． 20. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知函数． (I)若不等式的解集为，求实数a的值； (II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围 参考答案： （Ⅰ）由得，∴，即， ∴，∴。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,令， 则， ∴的最小值为4，故实数的取值范围是。 21. 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点． (1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若，求直线l的方程； (3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B2PQ的面积的取值范围． 参考答案： 解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90o，得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中，，从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分 (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ，又，所以 ………………………………8分 由，得=0，即，解得；   所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分  (3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分 当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离， 因此t=，得………………………………………13分 联立方程组：得，由韦达定理知， ，所以， 因此. 设，所以，所以…15分 综上所述：△B2PQ的面积……………………………………………16分 略 22. 已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点． （Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD （Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PCD． （Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）连接AC， ∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC是正三角形， ∵E是BC中点，∴AE⊥BC， 又AD∥BC，∴AE⊥AD，…（1分） ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，…（2分） 又PA∩AE=A， ∴AE⊥平面PAD，…（3分） 又AE?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PCD． …（4分） 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直， 以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，… ∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…（6分） 在Rt△AME中，tan，即=， 设AB=2a，则AE=，得AM=， 又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b）， ∴AM==， 从而b=a，∴PA=AD=2a，…（7分） 则A（0，0，0），B（，﹣a，0），C（），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（），F（，，a）， ∴=（），=（，，a），=（﹣），…（8分） 设=（x，y，z）是