2023年湖南省常德市鼎城区石公桥联校高二数学理月考试卷含解析

2023年湖南省常德市鼎城区石公桥联校高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，4，5，6}，则A∩B=（　　） A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．{0，1，2} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】由A与B，求出两集合的交集即可． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，4，5，6}， ∴A∩B={1，4}， 故选：C． 2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（　　） A．100 B．101 C．200 D．201 参考答案： A 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由三点共线得a1+a200=1，再由等差数列前n项和公式解得． 【解答】解：∵A，B，C三点共线 ∴a1+a200=1 又∵ ∴s200=100 故选A 3. 下列命题中为真命题的是 (　 　) A.命题“若，则”的逆命题             B.命题“，则”的否命题 C.命题“若，则”的否命题D.命题“若，则”的逆否命题 参考答案： A 略 4. 已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（    ） A．此推理大前提错误 B．此推理小前提错误 C. 此推理的推理形式错误 D．此推理无错误 参考答案： C 已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说A材料是金属，结论是A能导电. 但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.   5. 已知集合M是由具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，在定义域内存在两个变量且时有．则下列函数 ① ② ③ ④在集合M中的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： B 6. 给出下面结论：   （1）命题的否定为；   （2）若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件；   （3）“”是“”成立的充分不必要条件;    (4) 若是的三个内角，则“”是“”成立的充要条件。   其中正确结论的个数是        参考答案： B 略 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（     ） A．650           B．1250           C．1352           D．5000 参考答案： B 8. 圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（    ） A．                    B．         C．         　   　D． 参考答案： A 9. 极坐标方程   表示的曲线为（             ） A、极点       B、极轴                  C、一条直线            D、两条相交直线 参考答案： D 10. 设为定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A．           B．            C．1          D．3 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．111] 参考答案： 解：，当，即时取等号； 的最小值为； ,故本题正确答案是 . 12. 给出如下4个命题：①若α.β是两个不重合的平面，.m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是⊥α，m⊥β，且∥m；②对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；③已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P的逆否命题是假命题；④已知a.b.c.d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上) 参考答案： ①②④  略 13. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB=4csinC﹣bcosA，则cosC=　　． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=4sin2C，结合C为锐角，可求sinC，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值． 【解答】解：∵acosB=4csinC﹣bcosA， ∴由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=4sin2C， 又∵sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC， ∴sinC=4sin2C， ∵C为锐角，sinC＞0，cosC＞0， ∴sinC=，cosC==． 故答案为：． 14. 设随机变量X的分布列,则 _______ 参考答案： 【分析】 先由概率之和为1，求出，再由即可求出结果. 【详解】因为随机变量的分布列, 所以， 解得， 因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质，熟记性质即可求解，属于常考题型. 15. 函数在上的最大值是         . 参考答案： 12 16. 已知函数f（x）=（m≠0），则下列结论正确的是　   　. ①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）； ②函数f（x）的极值点是x=±； ③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R； ④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个． 参考答案： ①④ 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①∵f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数， ∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确； ②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±；，故不正确 ③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递减函数，故不正确； ④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，大致图象如图所示 所以函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确． 故答案为：①④． 17. 图5是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在［6，10］内的频数为       ，数据落在（2，10）内的概率约为          ．     参考答案： 64，0.4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知函数 （Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数； （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，试比较与的大小关系． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，解得或， ∴ 函数的定义域为  当时， ∴ 在定义域上是奇函数。      ………4分 （Ⅱ）由时，恒成立， ∴  ∴ 在成立  令，，由二次函数的性质可知 时函数单调递增，时函数单调递减， 时， ∴               ………8分 （Ⅲ）=  证法一：设函数, 则时，，即在上递减， 所以，故在成立， 则当时,成立. ………14分 证法二：构造函数，  当时，，∴在单调递减，             ………12分 当（）时，   …14分 略 19. (1) 若， ，求证： ； (2) 设a， b， c， d均为正数，且，若，求证：． 参考答案： 证明：(1) ， ，   .                     …………5分 (2)   要证， 只需证， 只需证，由题设，有， 故只需证， 只需证 ，又由题设，显然成立， 所以得证．                          …………10分 20. （本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的周长为，且． （1）求边的长；    （2）若的面积为，求角的大小． 参考答案： （I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得． 21. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2ex＜0的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 参考答案： B 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论． 【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为 g′（x）=， ∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0， 即g（x）在R上单调递减； 又∵f（0）=2，∴g（0）==2， 则不等式f（x）﹣2ex＜0化为＜2， 它等价于g（x）＜2， 即g（x）＜g（0）， ∴x＞0， 即所求不等式的解集为（0，+∞）． 故选：B． 22. （本小题满分12分）已知直线，⊙ 上的任意一点P到直线的距离为。当取得最大时对应点的坐标，设. （Ⅰ）求证：当，恒成立； （Ⅱ）讨论关于的方程：的根的个数. 参考答案： 解：（1）由题意得，                             ……1分 ∴，    ∴    ……2分 ∴，∴在是 单调增函数，                                             ……5分 ∴对于恒成立。      ……6分 （2）方程；   所以       因为，所以方程为                      ……7分      令，，       因为，当时，，所以在上为增函数；      时，，  ∴在上为减函数，    ……8分      当时，                     ……10分 ，             所以函数、在同一坐标系的大致图象如图所示， 所以①当，即时，方程无解。 ②当，即时，方程有一个根。 ③当，即时，方程有两个根。    ……12分 略