云南省昆明市款庄中学2021年高三数学文测试题含解析

云南省昆明市款庄中学2021年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中, P,Q是面对角线A1C1上的两个不同动点. ①存在P,Q两点,使BPDQ; ②存在P,Q两点,使BP,DQ与直线B1C都成450的角; ③若|PQ|=1,则四面体BDPQ的体积一定是定值; ④若|PQ|=1,则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值. 以上命题为真命题的个数是(  ) A．1       B．2           C．3         D．4 参考答案： C 2. 阅读右面的程序框图，则输出的S= A   14           B   20        C  30        D 55 参考答案： C 解析：当时， S=1;当i=2时， S=5;循环下去，当i=3时， S=14；当i=4时,S=30； 3. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为及的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为 A. 18π  B.   C. 36π  D. 48π 参考答案： C 因为四棱锥的底面为矩形，所以对角线AC为截面圆的直径。由题意得该四棱锥的外接球的球心O在截面ABC内的射影为AC的中点F，此时 ，则，解得。设外接球的半径为R，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为。选C。   4. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图像大致是 参考答案： B 略 5. 已知集合,则 （   ） A.        B.            C.         D. 参考答案： B 试题分析：因,则,故应选B. 考点：不等式的解法与集合的运算. 6. 若函数y=x2﹣3x+4的定义域为[0，m]，值域为[，4]，则m的取值范围是（  ） A．（0，4] B．[，4] C．[，3] D．[，+∞） 参考答案： C 【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围． 【解答】解：y=x2﹣3x+4=x2﹣3x++=（x﹣）2+，定义域为〔0，m〕 那么在x=0时函数值最大，即y最大=4， 又值域为〔，4〕， 根据二次函数的对称性，≤m≤3， 故选：C． 【点评】本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题． 7. 市内某公共汽车站6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 A．48 B．54 C．72 D．84 参考答案： C  根据题意,先把3名乘客进行全排列,有种排法,排好后,有4个空位,再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中,有种排法,则共有种候车方式,选 C． 8. 已知函数的定义域为M，的定义域为N，则M(　　) A.    B.    C.     D. 参考答案： C 略 9. 已知命题：N, ，命题：R , ，则下列命题中为真命题的是    (A)        (B)       (C)      (D) 参考答案： A 10. 设m、n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（     ）   A．m∥，n∥且∥，则Ⅲ∥以    B．m⊥，n⊥且⊥，m⊥n   C．m⊥，n，m⊥n．则⊥    D．m，n，m∥，n∥，∥ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________． 参考答案： (1，＋∞) 12. 一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为　　． 参考答案： 4π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：． ∵圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1， ∴=， ∴r=1， ∴球的表面积为：4πr2=4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础． 13. 设全集是实数集，，，则图中阴影部分所表示的集合是. 参考答案： 14. 若的值为_______. 参考答案： 8 试题分析：令，得①；令，得②，两式相加得. 考点：二项式定理. 15. 设x，y满足约束条件，则的最大值为______. 参考答案： 29 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图： 联立，解得， 目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆， 由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时z也最大， 最大值为. 所以本题答案为29. 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.   16. 已知，则   ▲   ． 参考答案： 令=﹣1，解得x=， 即f（﹣1）=， 故答案为：   17. 已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是           . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 已知函数对任意的实数、都有, 且当时,. （I）求证:函数在上是增函数； （II）若关于的不等式的解集为,求的值. （III）若，求的值. 参考答案： （1)证明:设,则,从而,即. , 故在上是增函数.                                   ………5分 (2).由（1)得, 即. ∵不等式的解集为, ∴方程的两根为和, 于是,解得………………………………………………9分 (3) 若，在已知等式中令,得 所以累加可得，, 故.………………13分 19. （本小题共13分） 已知函数。 （1）求的定义域及最小正周期； （2）求的单调递减区间。 参考答案： 。 （1）原函数的定义域为，最小正周期为． （2）原函数的单调递增区间为，。 20. )已知抛物线y2=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (Ⅰ)求t，p的值； (Ⅱ)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）. (ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标； (ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.     参考答案： 解：(Ⅰ)由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.……4分 (Ⅱ) (ⅰ)设直线AB的方程为， 、 ， 联立得， 则，.………… 6分 由得： 或（舍去）， 即，所以直线AB过定点；……… 8分 (ⅱ)由(ⅰ)得， 同理得， 则四边形ACBD面积 ，令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96. ………13分 略 21. （本题满分分） 设数列的前项和为，已知，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切正整数，有. 参考答案： 【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明。D2 E7  【答案解析】（1）；（2）见解析   解析：（1）（解法一）     依题意，又，所以   ………（2分）   当，            ， 两式相减得 整理得 ，即，     ………（6分） 又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以所以                    ………（8分） （解法二）          ， ，得， .......（2分）      猜想                        .............（3分）     下面用数学归纳法证明：    （1）当时，猜想成立；                （2）假设当时，猜想也成立，即 .............（4分）         当时， =             ，........（5分）                       时，猜想也成立                               ............（6分）       由（1），（2）知，对于，猜想成立。      ，当，也满足此式，故  .........（8分） （2）证明：当；                          ………（9分） 当；                      ………（10分） 当，                ………（12分） 此时 综上，对一切正整数n，有          ……………（14分） 【思路点拨】（1）把原式利用递推关系式构造新数列为等差数列，再利用通项公式即可；（2）利用简单的放缩法即可。 22. 如图，在四边形ABDE中，，，点C在AB上，且，，现将沿CD折起，使点A到达点P的位置，且. （1）求证：平面PBC⊥平面DEBC； （2）求三棱锥P-EBC的体积. 参考答案： （1）见解析； （2）. 【分析】 （1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果. 【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD， ∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE， 又BC⊥BE，PC∩BC=C， ∴EB⊥平面PBC， 又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC； （2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得, ∴△PBC为等边三角形，  ∴, ∴ . 解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE， 得,  ∴△PBC为等边三角形， 取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD， ∴ . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.