2023年辽宁省锦州市第十二中学高三数学文月考试卷含解析

2023年辽宁省锦州市第十二中学高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为(     )cm2。    A．80      B．12      C．48     D．20 参考答案： A 略 2. 已知集合，则满足的集合N的个数是（   ）     A．2              B．3              C．4              D．8 参考答案： C 3. 设，则的大小关系是 A.       B.        C.    D. 参考答案： D 所以.故选D. 4. 已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（　　） A．4 B．2 C．8 D．16 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1， 则+=（2m+n）=4+≥4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号． 故选：C． 5. m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（　　） A．若m∥α，m∥β，则 α∥β B．若m∥α，α∥β，则 m∥β C．若m?α，m⊥β，则 α⊥β D．若m?α，α⊥β，则 m⊥β 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B中，m与β平行或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与β相交、平行或m?β． 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误； 在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m?β，故B错误； 在C中，若m?α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确； 在D中，若m?α，α⊥β，则m与β相交、平行或m?β，故D错误． 故选：C． 6. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入                                  参考答案： C 7. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（　 　） 参考答案： B 8. 现有四个函数：①  ②  ③  ④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是(   ) A．①④③②　 　　B．④①②③　   　C. ①④②③ 　　D．③④②① 参考答案： C 9. 已知：；：方程表示双曲线．则是的 A．充分非必要条件         B．必要非充分条件 C．充要条件               D．既非充分也非必要条件 参考答案： A 略 10. “数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 解：若数列既是等差数列又是等比数列，则数列为常数列，且，反之，当时，满足数列是常数列，但数列不是等比数列， 所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差； ③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________． 参考答案： ①③ 12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则   ▲   ． 参考答案： 24 13. 在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则          . 参考答案： ； 14. 抛物线的焦点到准线的距离为          ． 参考答案：         15. 复数的实部是          . 参考答案： 2 16. 的展开式中的系数为_______（用数字填写答案）. 参考答案： 40 【分析】 ,根据的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可. 【详解】， 由展开式的通项公式可得： 当r=3时，展开式中的系数为； 当r=2时，展开式中的系数为， 则的系数为80-40=40. 故答案为：40． 【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 17. 已知集合，则____________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （I）解不等式 （II），证明： 参考答案： 解：（I）                或   或 得不等式解为                         （II）证明： ∴    略 19. 已知函数 （1）当时，求的极小值； （2）设，求的最大值． 参考答案： 解（1）当时， 令得． 所以在上单调递减，在和上单调递增． 所以的极小值为 （2）因为在上为偶函数，故只求在上的最大值即可． 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以可得 略 20. 设A2n=（a1，a2，…，a2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①ai∈{1，﹣1}，i=1，2，…，2n；②a1+a2+…+a2n=0；③a1+a2+…+ai≥0，i=1，2，…，2n﹣1． （Ⅰ）当n=3时，写出满足题设条件的全部A6； （Ⅱ）设n=2k﹣1，其中k∈N*，求a1+a2+…+an的取值集合； （Ⅲ）给定正整数n，求A2n的个数． 参考答案： 【考点】进行简单的合情推理． 【分析】（Ⅰ）当n=3时，直接写出满足题设条件的全部A6； （Ⅱ）首先证明a1=1，且a2n=﹣1，考虑A2n=（1，…，1，﹣1，…，﹣1），即a1=a2=…=an=1，an+1=an+2=…=a2n=﹣1，此时a1+a2+…+an=n为最大值，注意到n为奇数，所以a1+a2+…+an=1为最小值，即可求a1+a2+…+an的取值集合； （Ⅲ）给定正整数n，显然，从a1，a2，…，a2n中选n个+1，其余为﹣1的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，即可求A2n的个数． 【解答】解：（Ⅰ）A6=（1，1，1，﹣1，﹣1，﹣1），A6=（1，1，﹣1，1，﹣1，﹣1），A6=（1，1，﹣1，﹣1，1，﹣1），A6=（1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1），A6=（1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1），共5个． … （Ⅱ）首先证明a1=1，且a2n=﹣1． 在③中，令i=1，得a1≥0．由①得a1=1． 由②得a2n=﹣（a1+a2+…+a2n﹣1）． 在③中，令i=2n﹣1，得a1+a2+…+a2n﹣1≥0， 从而a2n=﹣（a1+a2+…+a2n﹣1）≤0．由①得a2n=﹣1． 考虑A2n=（1，…，1，﹣1，…，﹣1），即a1=a2=…=an=1，an+1=an+2=…=a2n=﹣1，此时a1+a2+…+an=n为最大值． 现交换an与an+1，使得an=﹣1，an+1=1，此时a1+a2+…+an=n﹣2． 现将an=﹣1逐项前移，直至a2=﹣1．在前移过程中，显然a1+a2+…+an=n﹣2不变，这一过程称为1次移位． 继续交换an与an+2，使得an=﹣1，an+2=1，此时a1+a2+…+an=n﹣4． 现将an=﹣1逐项前移，直至a4=﹣1．在前移过程中，显然a1+a2+…+an=n﹣4不变，执行第2次移位． 依此类推，每次移位a1+a2+…+an的值依次递减2．经过有限次移位，a1，a2，…，an一定可以调整为1，﹣1交替出现． 注意到n为奇数，所以a1+a2+…+an=1为最小值． 所以，a1+a2+…+an的取值集合为{1，3，5，…，2k﹣1}．    … （Ⅲ）由①、②可知，有序数组（a1，a2，…，a2n）中，有n个+1，n个﹣1． 显然，从a1，a2，…，a2n中选n个+1，其余为﹣1的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，记该数为tn． 如果（a1，a2，…，a2n）不满足条件③，则一定存在最小的正整数s（s≤n），使得 （ⅰ）a1+a2+…+a2s﹣2=0；   （ⅱ）a2s﹣1=﹣1． 将a1，a2，…，a2s﹣1统统改变符号， 这一对应f为：（a1，a2，…，a2s﹣1，a2s，…，a2n）→（﹣a1，﹣a2，…，﹣a2s﹣1，a2s，…，a2n）， 从而将（a1，a2，…，a2n）变为n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组． 反之，任何一个n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组（a1，a2，…，a2n）．由于+1多于﹣1的个数，所以一定存在最小的正整数s（s≤n），使得a1+a2+…+a2s﹣1=1． 令对应f﹣1为：（a1，a2，…，a2s﹣1，a2s，…，a2n）→（﹣a1，﹣a2，…，﹣a2s﹣1，a2s，…，a2n）， 从而将（a1，a2，…，a2n）变为n﹣1个+1，n+1个﹣1组成的有序数组． 因此，tn就是n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组的个数． 所以A2n的个数是．                       … 21. 如图所示，正三棱柱ABC - A1B1C1中，，D、E分别为A1C1、BC1的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求该三棱柱底面边长. 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）要证明线面平行，需证明线线平行，分别取，中点，，连接，，，证明四边形是平行四边形，即可证明； （2）因为是的中点，所以，利用体积转化求底面边长. 【详解】（1）法1：分别取，中点，，连接，，， 则，，∴，且， ∴为平行四边形，∴且平面， 平面，所以平面； 法2：取中点，连接，，则可得，，从而可证得：平面平面，且平面， 所以平面； （2）设该三棱柱底面边长为，由正三棱柱可知，点到平面的距离为， 而，， ∴，所以三棱柱底面边长为. 【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长，证明线面平行的关键是线线平行，一般可根据条件构造平行四边形，或是中位线证明证明线线平行，第二问不管是求体积还是根据体积求参数，一般都需要体积转化. 22. 已知的三个内角分别是，所对边分别为，满足。 （1）求的值； （2）若，求的面积。 参考答案： 略