2023年湖南省常德市西洞庭管理区第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2023年湖南省常德市西洞庭管理区第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（   ）    （A）－2        （B）4             （C）－6          （D）6 参考答案： C 2. 已知函数，若，则实数 （　 ） A． B． C．或 D．或 参考答案： C 3. 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，该几何体的左视图为（  ） 参考答案： B 4. 在各项均为正数的等比数列中，若 A．12 B． C． D．32 参考答案： B 由等比数列的性质有，. 5. 已知a∈R，i为虚数单位，且(1+ai)(1+i)为实数，则a＝（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 参考答案： B 6. 已知集合，，若，则             （    ） A.          B.            C.或         D.或 参考答案： C 略 7. 曲线在点处的切线方程为（     ） A.     B.    C.    D. 参考答案： A 略 8. 已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是() A.平面必平行于      B.平面必与相交 C.平面必不垂直于    D.存在△的一条中位线平行于或在内 参考答案： D 9. 某同学忘记了自己的号，但记得号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（     ） A. 18         B. 24        C. 6         D. 12 参考答案： D 10. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数有f′(x)+ f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式exf(x) ＞1的解集为（    ） A．(－∞，0)      B．(0，+∞)      C. (－∞，e)       D．(e，+∞) 参考答案： B 令g(x)=exf(x)，故g(x)=exf(x)+ exf′(x)= ex| f(x)+ f′(x) |，由f′(x)+ f(x)＞0可得，g(x) ＞0，故函数g(x)在R上单调递增，又由f(0)=1得g(0)=1，故不等式exf(x) ＞1的解集为(0，+∞)，故选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得，且，则∠BAC =   ▲ ． 参考答案：     略 12. 设函数是上的减函数，则的范围为         参考答案： 13. 已知函数 且关于的方程 有且只有一个实根，则实数的范围是___________. 参考答案： 略 14. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为　　． 参考答案： 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积． 【解答】解：根据题意作出图形： 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC， 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC． ∵， ∴=， ∴高SD=2OO1=， ∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴， ∴V三棱锥S﹣ABC==． 故答案为． 15. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为            参考答案： 略 16. 已知点和在直线的两侧，则的取值范围是     参考答案： 17. 若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为，则___________. 参考答案： 2 求导得，所以在点处的切线方程为 .令得，令得， 所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值）， . 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线l经过椭圆的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上. 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）见证明 【分析】 （Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出，即可得出椭圆的标准方程。 （Ⅱ）设出直线和直线的直线方程，分别代入椭圆的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出、，根据 确定的值，联立直线和直线的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上。 【详解】解：（Ⅰ）由已知，得，，， 椭圆的标准方程. （Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在. 令，，，，，. 将直线的方程代入椭圆方程得：， ，， 同理，. 由得，此时，， 直线， ，即点的定直线上. 【点睛】圆锥曲线中弦长一般用以下方法： 若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于，两个不同的点，则弦长为或 19. （12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点． （Ⅰ） 求证：直线BC1∥平面A1CD； （Ⅱ） 若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，由三角形中位线定理可得BC1∥DF，再由线面平行的判定可得BC1∥平面A1CD； （Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A1﹣CDE的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，交A1C于点F， 则F为AC1的中点，又D为AB的中点， ∴BC1∥DF， 又BC1?平面A1CD，DF?平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD； （Ⅱ）解：三棱锥A1﹣CDE的体积． 其中三棱锥A1﹣CDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知． 又． ∴． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 　 20. 已知椭圆过点，且焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值． 【解答】解：（1）由2c=2，c=1，由a2=b2+c2=b2+1， 则，解得：b2=1，a2=2， ∴椭圆的标准方程为：； （2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2）， ，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0， 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）， 则x1+x2=﹣，x1x2=， 则y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=， △=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得：﹣＜k＜， 则x0=﹣，y0=， 由|GA|=|GB|，则GM⊥AB， 则kGM===﹣，（k≠0）， 解得：k=或k=（舍）， 当k=0时，显然满足题意； ∴直线l的方程为：y=（x+2）或y=0． 21. （本小题共12分） 如图所示，平面，平面，，，，为的中点．   （Ⅰ）求证：平面；   （Ⅱ）求证：平面平面．     (Ⅲ)求凸多面体的体积为 参考答案： （Ⅰ）作的中点，连接，，∴为三角形的中位线， ∴，， ……5分 ∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，∴平面．……7分 （Ⅱ）∵，为的中点， ∴，又，∴平面，  ……10分 ∵，∴平面，又平面， ∴平面平面．       ……12分 (Ⅲ)∵平面，平面，∴四边形为梯形，且平面平面， ∵，∴， ……1分 ∵平面平面，∴平面， 即为四棱锥的高，……2分 ∴ 略 22. （本小题满分12分）已知数列｛｝的前n项和为，数列的前n项和为,为等差数列且各项均为正数， (1)求数列｛｝的通项公式； （2）若成等比数列，求 参考答案： 解：（1） 当时，………………………………3分 ∴ ∴数列是首项，公比为3的等比数列…………………………4分 从而得：                       …………………………6分 （2）设数列的公差为∵  依题意有      ……………………………………8分 故 ……………………………………10分 略