2023年江西省新余市新祉中学高二数学文期末试卷含解析

2023年江西省新余市新祉中学高二数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记集合A={x∈R|f（x）≤0}，B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠?，则实数a的取值范围为（　　） A．[－4，4] B．[－2，2] C．[－2，0]   D．[0，4] 参考答案： B 【考点】二次函数的性质． 【分析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}=，利用B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠?，求出m，n，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：设集合A={x∈R|f（x）≤0}=， 则由f（f（x）+1）≤0，m≤f（x）+1≤n， ∴m﹣1≤f（x）≤n﹣1， ∴n﹣1=0，∴n=1， ∴f（x）=（x+a+1）（x﹣1）， ∴m=﹣（a+1）， ∵m﹣1≤f（x）min， ∴﹣a﹣2≤且﹣（a+1）≤1， ∴﹣2≤a≤2． 故选B． 【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 2. 下列四个图中，函数的图象可能是（      ） 参考答案： C 3. 函数,若,则的值等于（   ） A．       B．        C．        D． 参考答案： D 略 4. 已知全集，若，则集合的真子集共有(  )    A．3个          B．4个            C．5个            D．6个 参考答案： A 略 5. 在中，若，则A等于（   ） A．或    B．或     C．或     D．或 参考答案： D 6. 若三棱锥侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成的图形可能是（    ） 如图，正方体中，是棱的中点，是 侧面上的动 点，且//平面，则与平面 所成角的正切值构成的集合是 (     )       A、              B、           C、        D、 参考答案： C 略 7. 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(  　) A．5  B． 4 C．3  D．2 参考答案： C 略 8. 设双曲线分别为双曲线的左、右焦点．若双曲线存在点M，满足（O为原点），则双曲线的离心率为 （A） （B）            （C）         （D）2 参考答案： D 9. 已知x，y为正实数，则（　　） A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgy C．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy 参考答案： D 【考点】46：有理数指数幂的化简求值；4H：对数的运算性质． 【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可． 【解答】解：因为as+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数）， 所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，满足上述两个公式， 故选D． 10. 已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（　　） A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列 C．a2，b2，c2成等差数列 D．a2，b2，c2成等比数列 参考答案： C 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinC=sin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案． 【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B， 根据正弦、余弦定理得，2??a?c=b2， 化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2， 所以a2、b2、c2成等差数列， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为　    　． 参考答案： 1+++++＜   【考点】归纳推理． 【分析】由已知中不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…，分析不等式两边的变化规律，可得答案． 【解答】解：由已知中：不等式： 1+＜， 1++＜， 1+++＜， … 归纳可得：第n个不等式为：1+++…+＜， 当n=5时，第五个不等式为1+++++＜， 故答案为：1+++++＜ 　 12. 如上图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为_______________. 参考答案： 略 13. 已知、、三点在同一直线上，，，若点的横坐标为，则它的纵坐标为                   ．   参考答案： 14. 展开式中的常数项等于_________. 参考答案： 180 15. 若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是　   　． 参考答案： ﹣2 【考点】基本不等式． 【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵2a+2b=1， ∴=，即， ∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号， ∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键． 　 16. 已知命题，若的充分不必要条件，则的取值范围是          。 参考答案： 17. 设点M（3，t），若在圆O：x2+y2=6上存在两点A，B，使得∠AMB=90°，则t的取值范围是　　． 参考答案： ﹣≤t≤ 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2，则9+t2≤12，即可求出t的取值范围． 【解答】解：由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2， ∴9+t2≤12， ∴﹣≤t≤， 故答案为﹣≤t≤． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的运用，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，经过点,(0，)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示． 【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0． （2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k． 【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为， 代入椭圆方程得． 整理得① 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=， 解得或．即k的取值范围为．   （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则， 由方程①，． ② 又． ③ 而． 所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或， 故没有符合题意的常数k． 19. 已知两点，动点P在y轴上的投影是Q，且． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）过F（1，0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0），利用，即可得出． （2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2），联立方程得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y）∴点Q坐标为（x，0）． ∵， ∴∴点P的轨迹方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）证明：当两直线的斜率都存在且不为0时， 设lGH：y=k（x﹣1），G（x1，y1），H（x2，y2） ， 联立方程得，，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，∴△＞0恒成立； ∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴GH中点E1坐标为 同理，MN中点E2坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ ∴的方程为，∴过点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当两直线的斜率分别为0和不存在时，的方程为y=0，也过点 综上所述，过定点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应y的值． （1）若视x为变量，y为函数值，写出y=f（x）的解析式； （2）若要使输入x的值与输出相应y的值相等，求输入x的值为多少． 参考答案： 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图． 【分析】（1）利用程序框图，可得分段函数的解析式； （2）利用分段函数，根据使输入的x的值与输出的y的值相等，建立方程，即可求得结论． 【解答】（本题满分为10分） 解：（1）解析式为：f（x）=…5分 （2）依题意可得：，或，或， 解得：x=0，或x=1，或x=3，或x=10． 故所求x的集合为：{0，1，3，10}…10分 【点评】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于基础题． 21. 直线过点(1,1), 交轴, 轴的正半轴分别于A, B, 过A, B作直线的垂线, 垂足分别为C, D. (1)当AB //CD时, 求CD中点的坐标； (2)当|CD|最小时, 求直线的方程. 参考答案： 解析: 依题意, 设A(a, 0), B(0, b), a＞0, b＞0, 则直线AB的方程为 ∵点(1, 1)在AB上,  ∴         ① (1)当AB//CD时, 则可得kAB= -3, 即- ∴b=3a  结合①解得a=, b=4 设AB的中点为N, 则N(, 2). 又∵AC, BD⊥垂直于CD, M是CD的中点∴MN⊥CD, 从而直线MN的方程为y=(x-)+2与方程3x+y+3=0联立, 可解得M()   (2)∵AC, BD⊥垂直于直线y= -3x-3, ∴直线AC的方程为y=(x-a), 即x-3y-a=0,     且点B到直线AC的距离就等于|CD|, 故得|CD|=() =≥ 等号成立当且仅当即 因此, 所求的直线l的方程为x+y --1=0 22. 已知数列满足,(). (Ⅰ) 求,,,，并猜测的通项公式； (Ⅱ）试写出常数的一个值，使数列是等差数列；(无需证明) (Ⅲ）证明(Ⅱ）中的数列是等差数列，并求的通项公式. 参考答案： （Ⅰ）,,,，通项公式为；        ……4分                     （Ⅱ）；                                                        ……6分 （Ⅲ）因为()， 所以 (). 从而数列是首项为，公差为的等差数列，即(). 故().                                     　       ……12分