2023年福建省三明市永安初级中学高三数学理月考试题含解析

2023年福建省三明市永安初级中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，曲线，围成的阴影部分的面积为 A．    B． C．    D． 参考答案： A 2. 已知抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l，且l与x轴交于点E，A是抛物线上一点，AB⊥l，垂足为B，|AF|=，则四边形ABEF的面积等于（　　） A．19 B．38 C．18 D．36 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，求出A的坐标，而四边形ABEF为直角梯形，直角梯形的面积可求． 【解答】解：∵抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l， ∴F（，1），准线l为x=﹣， ∴|EF|=1，|AB|=|AF|， 设A（x0，y0）， ∴|AB|=x0+， ∵|AF|=， ∴x0+=， 解得x0=8， ∴y02=2x0=16， ∴|y0|=4， ∴|BE|=|y0|=4， ∴S四边形ABEF=（|EF|+|AB|）×|BE|=（1+）×4=19， 故选：A 3. 设是定义在Ｒ上的偶函数，且满足，当时， ，又,若方程恰有两解,则的范围是(    )     Ａ.  Ｂ.   Ｃ.  Ｄ. 参考答案： D 略 4. 函数与函数的图象可能是     （    ）   参考答案： 答案:D 5. 已知,则  （　　） A． B． C． D． 参考答案： A 6. （2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 A．　　　B．　　　C．　　　　D． 参考答案： A 解析：由已知，而，所以故选A 7. 已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B（xB，yB），则xA－yB的最大值为 A．         B．            C．1              D． 参考答案： C 略 8. 已知正数x,y满足，则的最小值为(    ) A．1           B．       C．         D． 参考答案： C 9. 根据某市环境保护局公布2008～2013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A. 300            B. 302.5             C. 305           D.   310 参考答案： B 10. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b                           B．若a⊥α，b∥a，bβ，则α⊥β C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b                      D．若a∥α，a∥β，则α∥β 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知变量x，y满足约束条件，则x2+y2+2（x﹣y）的最小值为　　． 参考答案： 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图 z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，则z的几何意义是，区域内的点到点D（﹣1，1）的距离的平方减2， 解得A（，） 由图象可知点D到A的距离d即为z=d2﹣2最小值， 则z==， 故x2+y2+2（x﹣y）的最小值为， 故答案为：． 12. ＝                 。 参考答案： 13. 若，则的展开式中常数项为______． 参考答案： 672 【分析】 先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为； 所以的展开式的通项公式为： ， 令，则，所以常数项为. 故答案为 【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14. 已知向量，．若向量与共线，则实数______． 参考答案： 因为向量与共线，所以，解得。 15. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是        . 参考答案： 5 16. 在中，为边上的一点，，，，若，则         . 参考答案： 17. 函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为　x=　． 参考答案： 考点： 正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 先求出函数的对称轴方程为x=，k∈Z，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程． 解答： 解：∵函数的对称轴方程为x=，k∈Z ∴当k=﹣1时，x=是离坐标原点最近的一条对称轴的方程． 故答案为：x=． 点评： 本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆（）的右焦点为，离心率为. （Ⅰ）若，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围. 参考答案： 试题解析：（Ⅰ）由题意得，得.      ………………2分 结合，解得，.                    ………………3分 所以，椭圆的方程为.                           ………………4分   略 19. 本题12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分） 已知集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 参考答案： [解]（1）                                    所以                                                                                  （2）                                        所以                                             所以                         20. 为了降低能损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 参考答案： (1)当x＝0时，C(0)＝8，即＝8，所以k＝40， 所以C(x)＝， 所以f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．   (2)f(x)＝2(3x＋5)＋－10 ≥2－10 ＝70， 当且仅当2(3x＋5)＝，即x＝5时，等号成立，因此最小值为70， 所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元． 略 21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，DP=DC，E是PC的中点，过点D作DF⊥PB交PB于点F．     （Ⅰ）求证：PA∥平面BDE； （Ⅱ）若AD⊥BD，求证：PC⊥DF； （Ⅲ）若四边形ABCD为正方形，在线段PA上是否存在点G，使得二面角E-BD-G的平面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说面理由． 参考答案： （1）（2） 略   （3） .=1 22. （12分） 设同时满足条件：①；②(是与无关的常数)的无穷数列叫“特界” 数列. （Ⅰ）若数列为等差数列，是其前项和，，求； （Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列是否为“特界” 数列，并说明理由. 参考答案： 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为， 则， （Ⅱ）由 得，故数列适合条件① 而，则当或时，有最大值20 即，故数列适合条件②. 综上，故数列是“特界”数列。