上海开元中学2023年高一数学文期末试卷含解析

上海开元中学2023年高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角的终边过点(1,－2)，则（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 2. 下列各角中，与2016°同在一个象限的是（　　） A．50° B．﹣200° C．216° D．333° 参考答案： C 【考点】象限角、轴线角． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值． 【分析】直接由2016°=5×360°+216°得答案． 【解答】解：∵2016°=5×360°+216°， ∴2016°是第三象限角， 且与216°终边相同． 故选：C． 【点评】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题． 3. 下列命题，正确命题的个数为(     ) ①若tanA?tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形； ②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形； ③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC一定是等边三角形； ④在锐角△ABC中，一定有sinA＞cosB． ⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是等边三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】①切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C为锐角； ②⑤利用正弦定理，再用和角公式得出结论； ④根据|cosX|≤1，不等式可转换为cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1，进而得出结论． 【解答】解：①若tanA?tanB＞1， ∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角， ∵sinAsinB＞cosAcosB， ∴cos（A+B）＜0， ∴A+B为钝角，故C为锐角， 则△ABC一定是锐角三角形，故错误； ②若sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2=c2，则△ABC一定是直角三角形，故正确； ③若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1， ∵|cosX|≤1， ∴cos（A﹣B）=cos（B﹣C）=cos（C﹣A）=1 ∵A、B、C＜180° ∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0 ∴A=B=C=60° ∴△ABC是等边三角形 则△ABC一定是等边三角形，故正确； ④在锐角△ABC中， ∴A+B＞90°， ∴A＞90°﹣B， ∴sinA＞sin（90°﹣B）， ∴sinA＞cosB，故正确； ⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵，由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA， ∴sin（B﹣A）=0， ∴B=A，同理可得A=C， ∴△ABC一定是等边三角形，故正确． 故选C． 【点评】考查了三角函数的和就角公式，正弦定理的应用．难点是对题中条件的分析，划归思想的应用． 4. 平面与平面平行的条件可以是（       ） A.内有无穷多条直线与平行；         B.直线a//,a// C.直线a,直线b,且a//,b//      D.内的任何直线都与平行 参考答案： D 略 5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比为（   ） A．-2          B．       C．        D．2 参考答案： C 则 解得，（舍去）   6. ．在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以2为公差, 为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形      B．钝角三角形   C．等腰直角三角形     D．等腰或直角三角形 参考答案： A 7. 若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是（    ） 参考答案： C 8. 函数y=的值域是(     ) A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1） 参考答案： B 【考点】函数的值域． 【分析】进行变量分离y==﹣1，若令t=1+x2则可变形为y=（t≥1）利用反比例函数图象求出函数的值域． 【解答】解法一：y==﹣1．∵1+x2≥1， ∴0＜≤2．∴﹣1＜y≤1． 解法二：由y=，得x2=． ∵x2≥0，∴≥0，解得﹣1＜y≤1． 故选B 【点评】此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法，应注意理解并加以运用． 解法三：令x=tanθ（﹣＜θ＜），则y==cos2θ． ∵﹣π＜2θ＜π， ∴﹣1＜cos2θ≤1，即﹣1＜y≤1． 9. 下列函数中，在(0,+∞)内单调递增的是（   ） A.        B.        C.         D. 参考答案： D 10. 函数f（x）=x3+x﹣8的零点所在的区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 参考答案： B 【考点】二分法的定义． 【分析】利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间． 【解答】解：因为f（1）=1+1﹣8=﹣6＜0， f（2）=8+2﹣8=2＞0， 所以f（1）f（2）＜0， 所以函数f（x）=x3+x﹣8的零点所在区间是（1，2）； 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列的首项为公比为则点所在的定直线方程为_____________________ 参考答案： 略 12. 函数在[0,π]上的单调减区间为______. 参考答案： 【分析】 首先根据两角和与差的公式化简，然后利用正弦函数的单调递减区间可得． 【详解】解：∵y＝2sin（x+）， 由+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z． 得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 又x∈[0，π]，∴x∈， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，考查了三角函数辅助角公式，属中档题． 13. 计算：cos42°sin18°+sin42°cos18°=　　． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值． 【分析】由两角和的正弦函数公式化简已知，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：cos42°sin18°+sin42°cos18°=sin（18°+42°）=sin60°=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 14. 在平行四边形ABCD中，= ，边AB，AD的长分别为2，1.若M， N 分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是______． 参考答案： [2,5] 【分析】 以A为原点AB为轴建立直角坐标系，表示出MN的坐标，利用向量乘法公式得到表达式，最后计算取值范围. 【详解】以A为原点AB为轴建立直角坐标系 平行四边形中，= ，边，的长分别为2，1 设 则 当时，有最大值5 当时，有最小值2 故答案为 【点睛】本题考查了向量运算和向量乘法的最大最小值，通过建立直角坐标系的方法简化了技巧，是解决向量复杂问题的常用方法. 15. 数列的一个通项公式是          。 参考答案： 略 16. 函数f（x）=2sin2x+6cosx+3的最大值为 　　． 参考答案： 9 考点： 三角函数的最值． 专题： 计算题． 分析： 把函数化简为关于cosx的二次函数f（x）=﹣2cos2x+6cosx+5，利用二次函数在闭区间[﹣1，1]上的最值求解即可． 解答： 解：f（x）=2sin2x+6cosx+3 =﹣2cos2x+6cosx+5 = ∵﹣1≤cosx≤1 ∴函数在[﹣1，1]单调递增 ∴函数在cosx=1时取得最大值9 故答案为：9 点评： 本题以三角函数的值域为载体，考查二次函数在闭区间[﹣1，1]上的最值的求解，解题中需注意的是不能忽略﹣1≤cosx≤1的范围限制． 17. 已知关于x的方程的一个根为2，则另一根是       　　　    ． 参考答案： －3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是　　　　. ①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； ②BC∥平面A′DE； ③三棱锥A′－FED的体积有最大值． 参考答案： ① ③ 略 19. 为了测试孪生孩子是否相互间有“感应”，现对若干对孪生孩子做有趣的试验活动，规定：在6到7点之间每位孩子相互独立地任意选定时刻到指定的某地点，若某对孪生孩子到达该地点前后时间差不超过15分钟，则称该对孪生孩子互为“感应孪生”，现有一对孪生孩子由甲乙两个孩子构成。 求：（1）甲乙这两个孪生孩子互为“感应孪生”的概率； （2）甲乙互为“感应孪生”且甲比乙先到达的概率. 参考答案： 设甲乙到达时间分别为，这里，单位：分钟 （1），结合线性规划和几何概型知： 甲乙这两个孪生孩子互为“感应孪生”的概率为 （2）甲乙互为“感应孪生”且甲比乙先到达的概率。 略 20. 解不等式组：． 参考答案： 【考点】其他不等式的解法． 【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】由条件利用分式不等式、绝对值不等式的解法，等价转化，求得x的范围． 【解答】解：不等式组，即，即， 求得 1＜x＜2，即原不等式组的解集为（1，2）． 【点评】本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 21. 已知函数是定义域为R的奇函数． （1）求函数f(x)的解析式； （2）若存在使不等式成立，求m的最小值． 参考答案： （1）易知 （2）易知f(x)在[－2,2]上单调递增；   由 可得在[－2,2]有解   分参得，设 ，所以  则m的最小值为－8． 22. （本小题满分13分）已知圆的方程:,其中. （1）若圆C与直线相交于,两点，且,求的值； （2）在（1）条件下，是否存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 参考答案： （1）圆的方程化为  ，圆心 C（1，2），半径 ， 则圆心C（1，2）到直线的距离为 ………3分 由于，则，有， 得.               …………………………6分 （2）假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，        …………7分 由于圆心 C（1，2），半径， 则圆心C（1，2）到直线的距离为 ，           …………10分 解得.                       …………13分