2023年辽宁省鞍山市乐群高级中学高三数学理联考试题含解析

2023年辽宁省鞍山市乐群高级中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图的程序框图后，输出的S=27，则判断框内的条件应为（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 2. 已知数列是公比为的等比数列，是公差为的等差数列，其首项分别为和，且，且和都是正整数，则数列的前项和为       (   )              参考答案： A 3. 设集合A、B是全集的两个子集，则是的（  ） （A）充分不必要条件            （B）必要不充分条件   （C）充要条件                （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A   4. 设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（   ） A．4:3:2             B．5:4:3             C．6:5:4              D．7:6:5 参考答案： C 试题分析：，，又、、为连续的三个正整数，设，，， （),由于，则，即， ，解得，，， ，由正弦定理得，选C.   考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.   5. 设全集，集合，则      （A）                   （B）               （C）                 （D） 参考答案： 【知识点】集合的补集 A1 A解析：因为，，所以, 故选A. 【思路点拨】由补集运算直接计算可得. 6. 设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且，则4f（x）＞f'（x）的解集为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】压轴题；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】把已知等式变形，可得3f（x）=f′（x）﹣3，则f′（x）=3f（x）+3，令f（x）=aebx+c，由f（0）=1，得a+c=1，再由3f（x）=f′（x）﹣3，得到3aebx+3c=abebx﹣3，则，求得a，b，c的值，可得函数解析式，把4f（x）＞f'（x）转化为关于x的不等式求解． 【解答】解：由，得3f（x）=f′（x）﹣3， ∴f′（x）=3f（x）+3， 令f（x）=aebx+c， ∵f（0）=1，∴a+c=1， ∵3f（x）=f′（x）﹣3， ∴3aebx+3c=abebx﹣3， ∴，解得a=2，b=3，c=﹣1． ∴f（x）=2e3x﹣1， ∵4f（x）＞f'（x）， ∴8e3x﹣4＞6e3x， 则e3x＞2，即x＞． ∴4f（x）＞f'（x）的解集为． 故选：B． 【点评】本题考查导数的运算及应用，考查了推理能力与计算能力，是压轴题． 7. 已知外接圆的半径为，且，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为(      ) A．直角三角形          B．等边三角形      C．钝角三角形          D．等腰直角三角形 参考答案： B 8. 在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(     ) A．28 B．40 C．56 D．60 参考答案： B 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x． 【解答】解：设中间一组的频数为x， 因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的， 所以其他8组的频数和为， 由x+=140，解得x=40． 故选B． 【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础． 9. “”是“”的                   （     ） 充分不必要条件                 必要不充分条件         充要条件                             既不充分也不必要条件 参考答案： B 10. 设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=(     ) A． B． C．0 D．﹣ 参考答案： A 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可． 【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0， ∴f（）=f（） =f（）+sin =f（）+sin+sin =f（）+sin+sin+sin =sin+sin+sin = =． 故选：A． 【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 的展开式中含x2项的系数是         参考答案： 5   略 12. 直线所得的弦长是__________. 参考答案： 2 13. 计算：        （为虚数单位） 参考答案： 复数。 14. 如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题： ①平面⊥平面ABC； ②BC∥平面； ③三棱锥－DEF的体积最大值为； ④动点在平面ABC上的射影在线段AF上； ⑤直线DF与直线可能共面。 其中正确的命题是＿＿＿＿＿（写出所有正确命题的编号） 参考答案： ①②③④ ①中由已知可得四边形是菱形，则，所以平面，所以面面，①正确；又∥，∴∥平面；，②正确；当面⊥面时，三棱锥的体积达到最大，最大值为，③正确；由面面，可知点在面上的射影在线段上，所以④正确；在旋转过程中与直线始终异面，⑤不正确． 15. 已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为       .     参考答案： 16. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于　　． 参考答案： 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角． 分析： 首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果． 解答： 解：取BC的中点F，连接EF，OF 由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点， 所以：EF∥BC1∥AD1 所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角． 平面ABCD⊥平面BCC1B1 OF⊥BC 所以：OF⊥平面BCC1B1 EF?平面BCC1B1 所以：EF⊥OF cos 故答案为： 点评： 本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型． 17. 已知直线：和：，则∥的充要条件是=     　   ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”． （1）记甲班“口语王”人数为，乙班“口语王”人数为，比较，的大小． （2）求甲班10名同学口语成绩的方差． 参考答案： （1）；（2）方差为86.8 ∴． （2）甲班10名同学口语成绩的方差 ． 考点：茎叶图，方差． 19. （本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x. （1）求f(x)的最小正周期； （2）若x∈,求f(x)的最大值及最小值. （3）若函数g(x)=f(-x),求g(x)的单调增区间； 参考答案： （1）由题知 f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x= 所以f(x)的最小正周期T. (2)因为x∈,所以2x-∈, 所以f(x)∈［-,1］. 所以当x=0时，f(x)的最大值为1；当x=时，f(x)的最小值为-. （3）由2kπ-≤≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+， 函数f(x)的单调减区间为[kπ-，kπ+] (k∈Z). 由2kπ+≤≤2kπ+,解得kπ+≤x≤kπ+, 函数f(x)的单调增区间为[kπ+, kπ+] (k∈Z). 注意：其它的解题方案导致其它的解题结果。 20. 已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1，满足Sn=2an+1+n，n∈N*，则求数列{an}的通项公式． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知数列递推式求出a2，再把数列递推式变形后可得数列{an+1}从第二项起，构成以1为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得答案． 【解答】解：由Sn=2an+1+n，①得 Sn+1=2an+2+n+1，② ②﹣①得an+1=2an+2﹣2an+1+1， 即， ∴， ∵a1=1，∴， 则a2+1=1≠0． ∴数列{an+1}从第二项起，构成以1为首项，以为公比的等比数列． 则当n≥2时，=， 即（n≥2）． 验证n=1上式不成立． ∴． 【点评】本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题． 21. 设，且.求证： （1）； （2）与不可能同时成立. 参考答案： （1）由，得， 由基本不等式及，有，即. （2）假设与同时成立， 则且，则， 即：，由（1）知因此① 而，因此②，因此①②矛盾， 因此假设不成立，原结论成立. 22. （12分）华为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户： 分值区间 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 频数 20 40 80 50 10 男性用户： 分值区间 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 频数 45 75 90 60 30 （1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关：   女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 　 　 　 　 　 　 “不认可”手机 　 　 　 　 　 　 合计 　 　 　 　 　 附： P（K2≥k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635   （2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率． 参考答案： 【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格即可； 同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格，可得2×2列联表， 由公式计算出K2的值与临界值中数据比较即可； （2）评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，