2023年湖南省郴州市志成中学高三数学理测试题含解析

2023年湖南省郴州市志成中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知P（，1），Q（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（  ） A. B. C. － D. 参考答案： B 【分析】 由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。 【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得 ，因为，所以，故选B。 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　  　) A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3  D．11,3 参考答案： A 略 3. 没函数的定义域为R,若存在常数M>0，使对一切实数x均成 立，则称为“倍约束函数”，现给出下列函数：①：②：③；④   ⑤是定义在实数集R上的奇函数，且 对一切均有,其中是“倍约束函数”的有(    ) A．1个       B.2个        C..3个        D.4个 参考答案： C 4. 设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是             (  　  　) A．直线l过点(，) B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间 D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 参考答案： A 5. 如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．        B．      C. 1        D． 参考答案： C 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　） A． B． C． D．3 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论． 【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==， 故选：B． 7. 已知，则的解集是（  ） A．      B．   C．   D． 参考答案： D 略 8. 设集合，，则使M∩N＝N成立的的值是（    ）           A．1　　　 B．0          C．－1    D．1或－1 参考答案： C 9. 复数满足，则 A．           B．      C．  D． 参考答案： C 考点：复数乘除和乘方 因为，所以 所以 故答案为：C 10. 下列有关命题的说法正确的是………………………………………………………………（　） 　 A． 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” 　 B． “x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 　 C． 命题“x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“x∈R，均有x2+x+1＜0” 　 D． 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 参考答案： D　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则函数的值为. 参考答案： 略 12. 设正三棱锥的高为H，且此棱锥的内切球的半径R，，则          ． 参考答案： 如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，， 由已知，，则， 由得，∴， ∴， ， ∴． 故答案为．   13. 二项式的展开式中常数项为，则=      　　  ． 参考答案： -84 略 14. 已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，，则四边形BCPQ的面积为        . 参考答案： 15. 如图，点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形为菱形，则椭圆的离心率是             参考答案： 略 16. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于　　． 参考答案： 【考点】定积分的简单应用；几何概型． 【专题】导数的综合应用；概率与统计． 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答． 【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为=（4x﹣）|=， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于； 故答案为：． 【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 17. 设x，y满足约束条件，则的最大值为          ． 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设为奇函数，为常数。 （I）求的值； （II）证明在区间内单调递增； （III）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）。（Ⅱ）略（III） (I)根据f(-x)+f(x)=0恒成立，可求得a值。 （II）根据复合函数的单调性在（I）知道a值的情况下，可以研究内函数它在上是减函数即可。 (III) 解本小题的关键是把原不等式转化为，然后 令，则对于区间上的每一个都成立进一步转化为在上的最小值大于 19. [选修45：不等式选讲] (10分） 已知函数， （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）当时不等式恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 解：（1）①当时，， 解得，---------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当时，， 解得，----------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当时， 解得，----------------------------------------------------------------------------------------------3分 综上知，不等式的解集为.-----------------------------------5分 （2）解法1：当时，，---------------6分      设，则，恒成立， 只需， -------------------------------------------------------------------------------------8分 即，解得----------------------------------------------------------------------10分 【解法2：当时，，------------------------------------------------6分 ，即，即----------------------------------7分 ①当时，上式恒成立，；-----------------------------------------------------------8分 ②当时，得恒成立， 只需， 综上知，． --------------------------------------------------------------------------------10分】   20. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，. （Ⅰ）求C； （Ⅱ）当△ABC的面积取最大值时，求b的值． 参考答案： 解：（Ⅰ）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，即可得，故 （Ⅱ）依题意，的面积，故只需最大即可； 由余弦定理，即， 结合基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以当的面积取最大值时，   21. （12分） 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明． 参考答案： （1）函数的定义域为，且. 当时，，在上单调递增； 当时，若时，则，函数在上单调递增；若时，则，函数在上单调递减.   .................................................4分 （2）由（1）知，当时，. 要证，只需证， 即只需证 构造函数，则. 所以在单调递减，在单调递增. 所以. 所以恒成立， 所以.   .................................................12分 22. （本小题满分12分） 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 所以符合题意的直线l不存在． 参考答案： 解：(1)依题意， 可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 且可知其左焦点为F′(－2,0)． 从而有解得····· ····· 2分   又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故椭圆C的方程为＋＝1. ········  ······4分   (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t. 由得3x2＋3tx＋t2－12＝0. ········· ·······6分 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0， 解得－4≤t≤4. 另一方面，由直线OA与l的距离d＝4， 得＝4，解得t＝±2. 由于±2?[－4，4]， 所以符合题意的直线l不存在．······································12分 略