2023年河南省郑州市鲁庄第一中学高三数学文模拟试题含解析

2023年河南省郑州市鲁庄第一中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为(     ) A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3] D．（0，3） 参考答案： D 考点：分段函数的应用． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答： 解：根据题意作出f（x）的简图： 由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”， 可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数． 列式如下：，化简得， 此不等式组表示的区域如图： 令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0， 所以b+c的取值范围为（0，3）， 故选：D． 点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解． 2. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为     A．               B．               C．               D． 参考答案： C 3. 已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题： ①当x＞0时，f（x）=ex（1﹣x） ②函数有2个零点 ③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）        ④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2， 其中正确的命题是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 参考答案： C 【考点】3L：函数奇偶性的性质． 【分析】根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误，可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2． 【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）； ∴f（x）=e﹣x（x﹣1）； ∴该命题错误； ②∵f（﹣1）=0，f（1）=0； 又f（0）=0； ∴f（x）有3个零点； ∴该命题错误； ③（1）x＜0时，f（x）=ex（x+1）； ∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0； （2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）； ∴x＞1时，f（x）＞0； ∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）； ∴该命题正确； ④（1）x＜0时，f′（x）=ex（x+2）； ∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0； ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增； ∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0； ∴f（x）＜f（0）=1； 即﹣e﹣2＜f（x）＜1； （2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）； ∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减； x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0； ∴f（x）＞f（0）=﹣1； ∴﹣1＜f（x）≤e﹣2； ∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）； ∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2； ∴该命题正确； ∴正确的命题为③④． 故选：C． 【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，函数零点的定义及求法，指数函数的值域，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，可画图解本题． 4. 下图是一个算法的程序框图，当输入值为10时，则其输出的结果是（  ） A．         B．2       C．        D．4 参考答案： D 5. 等比数列中,已知,则   A. 6           B. 8             C. 10           D.  16 参考答案： B 略 6. 已知一个几何体是由上下两部分组成的合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（　　） A． B．2π C． D． 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知，此组合体上部是一个圆锥，下部是一个半球，半球体积易求，欲求圆锥体积需先求圆锥的高，再由公式求体积，最后再想加求出组合体的体积． 【解答】解：这个几何体上部为一圆锥，下部是一个半球， 由于半球的半径为1，故其体积为π×13=， 圆锥的高为=2， 故此圆锥的体积为×2×π×12=． ∴此几何体的体积是V==． 故选：A． 7. 如图，直线与圆：交于、两点，并依次与轴的负半轴和轴的正半轴交于、两点，当时， ．       ．       ．     ． 参考答案： 的中点为，依题意为线段的中点，则有， 故原点到直线的距离， 半径，则． 8. 如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=（    ）     A．2            B．         C．4            D．6 参考答案： C 9. 下列函数中不能用二分法求零点的是（　　） A．    B．    C．         D． 参考答案： C 10. 若函数在上可导，且满足，则 A．         B． C．         D． 参考答案： B 试题分析：由于，恒成立，因此在上时单调递减函数， ，即，故答案为B 考点：函数的导数与单调性的关系 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数(是虚数单位)的模为           ． 参考答案： 12. 若关于的不等式的解集为，则________. 参考答案： (二)必做题（14-16题） 13. 已知则的值等于____________． 参考答案： 略 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围_________. 参考答案： [﹣1，1] 15. 设函数其中. ①当时，若，则__________； ②若在上是单调递增函数，则的取值范围________. 参考答案： 1 ,  【考点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】 ①当时，若x<1，则无实数解； 若 则     ②若在上是单调递增函数， 则即 令 所以g(a)在单调递增，且 所以的解为： 故的取值范围是：。 16. 己知，，且，则   ▲   ． 参考答案： 因为，所以，即，所以。 17. (9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) =       . 参考答案： 5-5i 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计. （1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:） 参考答案： 略 19. 2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图. （Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位：千万立方米)与年份 (单位：年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是，试确定的值，并预测2018年该地区的天然气需求量； （Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表： 类型 类[KS5UKS5UKS5U] 类 类 车辆数目 10 20 30 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”，求的分布列及期望. 参考答案： （Ⅰ）如折线图数据可知 代入线性回归方程可得. 将代入方程可得千万立方米. （Ⅱ）根据分层抽样可知类，类，类抽取人数分别为1辆， 2辆，3辆 则当类抽1辆，类抽1辆时，，此时； 当类抽1辆，类抽1辆时，，此时； 当类抽1辆，类抽1辆时，，此时； 当类抽2辆时，，此时； 当类抽2辆时，，此时. 所以的分布列为： 3.5 4.4 5.9 5 6.8 ∴（万元） 20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示， （1）求由，确定的区域的面积； （2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（1）由函数的图象可求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式，再根据定积分的计算方法即可求出面积 （2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：（1）由图象知A=1．f（x）的最小正周期， 故， 将点代入f（x）的解析式得，又，∴． 故函数f（x）的解析式为， 确定的区域的面积S=sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|= （2）变换过程如下：y=sinx图象上的y=sin2x的图象， 再把y=sin2x的图象的图象， 另解：y=sinx的图象． 再把的图象的图象 21. 已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x﹣），﹣1）．令f（x）=?． （1）求f（x）的最小正周期及单调增区间． （2）若f（θ）=，且θ∈（，），求cosθ的值． （2）当x∈[，]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用． 【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解