2023年湖南省衡阳市常宁江河中学高三数学理模拟试题含解析

2023年湖南省衡阳市常宁江河中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的一段图像如图所示，△的顶点与坐标原点重合，是的图像上一个最低点，在轴上，若内角所对边长为， 且△的面积满足，将右移一个单位得到，则 的表达式为 A. B. C. D. 参考答案： B 2. （5分）80﹣lg100的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 参考答案： C 考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题． 分析： 根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可． 解答： 解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1， 故选：C． 点评： 本题考查了对数的运算性质，是一道基础题． 3. 若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（　　） 　 A． 10+6π B． 10+20π C． 14+5π D． 14+20π 参考答案： C 略 4. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横 坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是 A． B．  C．  D． 参考答案： D 函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得到，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到，选D. 5. 函数在(0,1)内有极小值，则(　 　)    A．     B．         C．             D． 参考答案： A 略 6. 若,则函数的两个零点分别位于区间(  ) A.和内       B.和内   C.和内      D.和内 参考答案： A 略 7. 已知圆锥曲线的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足，若圆锥曲线C1的离心率为，则C2的离心率为 A． B． C． D． 参考答案： B 8. 正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是（    ）. A．65        　   B．－65       　 C．25   　    　D. －25 参考答案： B 略 9. 过平面区域 内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（　　） A． B．C．D． 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小， 则P到圆心的距离最大即可， 由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小， 由，解得，即D（﹣4，﹣2）， 此时|OD|=，|OA|=1， 则，即sin=， 此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式． 10. 设函数 （1）解不等式； （2）求函数的最小值 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数的最小正周期为，则的值为      ． 参考答案： 0 12. 若实数满足则的最小值为            . 参考答案： 13. ．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是____________． 参考答案： 略 14. 已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为       ．   参考答案： 15. 设、、依次是的角、、所对的边，若，且，则_____________. 参考答案： 16. 某种农产品的产量，第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，设P为年平均增长率，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值是-____________. 参考答案： 17. 在中，．点满足，则______, 参考答案： 试题分析：根据题意，设,根据，可知，此时有. 考点：向量的数量积. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，且. （1）求的取值范围； （2）求证：. 参考答案： （1）；（2）证明见解析 【分析】 （1）由条件等式将用表示，再从，进一步求出的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解； （2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）依题意，，故. 所以， 所以，即的取值范围为. （2）因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题. 19. 师大附中高三年级学生为了庆祝第28个教师节，同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若项技术指标达标的概率为项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品. （1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率； （2）任意依次抽取该工艺品4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及. 参考答案： 解（1）设一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则都不达标，故 （2）依题意知               0 1 2 3 4 20. 已知动圆经过点，并且与圆相切. （1）求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值. 参考答案： . . 的值与无关， ，解得   . 21. 已知等差数列满足：，，的前n项和为．      （1）求及；      （2）令bn=()，求数列的前n项和． 参考答案： （1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。 （2）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即数列的前n项和=. 略 22. 如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF， AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心． （Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF； （Ⅱ）求证：PM∥平面AFC． 参考答案： 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 证明题；空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推断出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC1，所以CB⊥AF，进而由余弦定理求得BF，推断出AF2+BF2=AB2得AF⊥BF同时利用AF∩CB=B判断出AF⊥平面CFB，即可证明平面ADF⊥平面CBF； （Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，推断出PH∥CF，又利用线面判定定理推断出PH∥平面AFC，连结PO，同理推断出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推断出平面POO1∥平面AFC，最后利用面面平行的性质推断出PM∥平面AFC 解答： 证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB ∴CB⊥平面ABEF， 又AF?平面BDC1，∴CB⊥AF 又AB=2，AF=1，∠BAF=60°， 由余弦定理知BF=，AF2+BF2=AB2得AF⊥BF ∵AF∩CB=B，∴AF⊥平面CFB ∵AF?平面AFC， ∴平面ADF⊥平面CBF； （Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点， ∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC， ∴PH∥平面AFC 连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC PO∩PO1=P， ∴平面POO1∥平面AFC， PM?平面AFC， ∴PM∥平面AFC． 点评： 本题主要考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，面面平行的判定，以及线面垂直的性质，属于中档题．