上海吴泾第二中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析

上海吴泾第二中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设各项均为正数的等差数列项和为 等于 （    ） A． B．         C．         D． 参考答案： C 2. 要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A.沿轴向左平移个单位         B.沿向右平移个单位 C.沿轴向左平移个单位         D.沿向右平移个单位 参考答案： A 3. 已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　） 　 A． xy+有最小值4 B． xy+有最小值3 　 C． x+2y+有最小值11 D． xy﹣7+有最小值11 参考答案： C 4. 若函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，则有（　　） A．|a|＜1 B．1＜|a|＜2 C．1＜|a|＜ D．|a|＞ 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【分析】令0＜a2﹣1＜1，解出a的范围． 【解答】解：∵函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a2﹣1＜1，∴1＜a2＜2．∴1＜|a|＜． 故选C． 【点评】本题考查了指数函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题． 5. 已知，则的解析式为                    （     ） A.       B.         C.        D. 参考答案： D 6. 函数的零点所在的大致区间是（　　） A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1） 参考答案： C 【考点】函数的零点． 【专题】计算题． 【分析】根据所给的几个区间看出不在定义域中的区间去掉，把所给的区间的两个端点的函数值求出，若一个区间对应的函数值符合相反，得到结果． 【解答】解：∵在（0，+∞）单调递增 ∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0， ∴f（1）f（2）＜0 ∴函数的零点在（1，2）之间， 故选：C． 【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题． 7. （5分）已知α是第二象限角，那么是（） A． 第一象限角 B． 第二象限角 C． 第二或第四象限角 D． 第一或第三象限角 参考答案： D 考点： 象限角、轴线角． 专题： 分类讨论． 分析： 用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限． 解答： ∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z， ∴kπ+＜＜kπ+，，k∈z， 当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角， 故选 D． 点评： 本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想． 8. 若函数的定义域为[0 ，m],值域为，则 m的取值范围是 A.[0 ，4]       B.[ ，4]       C.        D.[ ，3] 参考答案： D 9. 下列函数中，与函数y＝x相同的函数是（    ） A．y＝            B．y＝（）2      C．       D．y＝ 参考答案： C 10. 若，，，则三个数的大小关系是                    A．   　  B．    　C．   　 D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 当x∈（1，3）时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1＜logax恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： 1＜a≤． 【考点】函数恒成立问题． 【专题】数形结合；函数的性质及应用． 【分析】构造函数，作出函数图象，利用数学结合可得：f（3）≤2，g（3）=loga3≥2恒成立，得出a的范围． 【解答】解：令f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，g（x）=logax， 作出函数图象如图： 由图象可知：x2﹣2x﹣1＜logax恒成立， ∴f（3）≤2， ∴g（3）=loga3≥2恒成立， ∴1＜a≤． 故a的范围为1＜a≤． 【点评】考查了数形结合的应用，利用图象，更直接，更形象． 12. 已知，则               . 参考答案： 13. 等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是　　，使前n项和Sn＞0的正整数n的最大值是　　． 参考答案： 5或6,10. 【考点】85：等差数列的前n项和． 【分析】由题意，公差d＜0，等差数列{an}是递减数列，|a3|=|a9|，即a3=﹣a9，可得a3+a9=0，即可前n项和Sn取得最大值的正整数n的值和前n项和Sn＞0的正整数n的值． 【解答】解：由题意，公差d＜0，等差数列{an}是递减数列，|a3|=|a9|，即a3=﹣a9，可得a3+a9=0， ∵a3+a9=2a6， ∴a6=0， ∴等差数列{an}的前5项是正项，第6项为0． 则前n项和Sn取得最大值的正整数n的值为：5或6． 又∵=0， ∴使前n项和Sn＞0的正整数n的最大值是：10． 14. 直线与直线垂直，则实数a的值为_______． 参考答案： 2 【分析】 由题得（-1）,解之即得a 的值. 【详解】由题得（-1）, 所以a=2. 故答案为；2 【点睛】本题主要考查两直线垂直的斜率关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15. 若,且则与的大小关系为    . 参考答案： 16. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于       . 参考答案： 60 17. 已知是等比数列，，，则公比______________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值;       (2)证明在上为减函数. (3)若对于任意,不等式恒成立,求的范围. 参考答案： 解：（1）              经检验符合题意.                                                                                                                        (2)任取   则=    (3) ,不等式恒成立,    为奇函数, 为减函数, 即恒成立,而  19. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏．围栏一边靠墙，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？此时利用墙多长？ 参考答案： 筑成这样的围栏最少要用米铁丝网,此时利用墙米. 【分析】 设长方形围栏的长为米，宽为米，要用铁丝网米，则, 由，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】设长方形围栏的长为米，宽为米，要用铁丝网米，则, （米） 当，即，时,等号成立，； 所以筑成这样的围栏最少要用米铁丝网,此时利用墙米. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）求PB和平面PAD所成的角的大小； （2）证明：AE⊥平面PCD； （3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小． （2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD． （3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A， ∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°． （2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA， 由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC， 又AE?面PAC，∴AE⊥CD， 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC， 又PC∩CD=C， 综上，AE⊥平面PCD． （3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， ∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角， 由已知得∠CAD=30°， 设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=， 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD， ∴AM==， 在Rt△AEM中，sin∠AME=． ∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为． 21. 已知函数 （1）求函数的最小值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 参考答案： ②                                        ………………………7分 ③………………8分 …………………………9分 综上所述： …………………………10分 （2）易知，即 在区间[-5，5]上是单调函数………………14分 22. 已知函数，（，，）的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点． （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）已知且，求. 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）由最值和两个零点计算出和的值，再由最值点以及的的范围计算的值； （Ⅱ）先根据（Ⅰ）中解析式将表示出来，然后再利用两角和的正弦公式计算的值. 【详解】解：（Ⅰ）由函数最大值为2，得 由 ∴ 又，，∴，， 又，∴ ∴ （Ⅱ）∵，且， ∴ ∴ 【点睛】根据三角函数图象求解析式的步骤：（1）由最值确定的值；（2）由周期确定的值；（3）由最值点或者图像上的点确定的取值.这里需要注意确定的值时，尽量不要选取平衡位置上的点，这样容易造成多解的情况.