2023年湖南省郴州市资兴市东江实验中学高三数学理测试题含解析

2023年湖南省郴州市资兴市东江实验中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 参考答案： B 2. 设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=x2；③f(x)=；④ f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有．其中是“倍约束函数”的序号是   （      ）       A．①②④        B．③④     C．①④   D．①③④  参考答案： D 3. 若“﹁p∨q”是假命题，则 (A)  p是假命题 (B) ﹁q是假命题  (C)  p∨q是假命题 (D)  p∧q是假命题 参考答案： D 4. 在复平面内，复数满足，则对应的点位于 （    ） A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限 参考答案： B 5. 下列四种说法中，正确的是 A．的子集有3个； B．“若”的逆命题为真； C．“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件； D．命题“，均有”的否定是：“使得 参考答案： C 6. 已知数列{an}、{bn}满足bn=log2an，n∈N+，其中{bn}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（　　） A．2016 B．2017 C．log22017 D． 参考答案： B 【考点】数列的求和． 【分析】由已知得an=2，计算可判断{an}为等比数列，于是a1a2017=a9a2009=4，从而得出b1+b2017=2，代入等差数列的求和公式即可． 【解答】解：设{bn}的公差为d， ∵bn=log2an，∴an=2， ∴==2=2d． ∴{an}是等比数列， ∴a1a2017=a9a2009=4， 即2?2=2=4， ∴b1+b2017=2， ∴b1+b2+b3+…+b2017==2017． 故选B． 7. 若变量满足则的最大值是（   ） A．90   B．80   C．50     D．40 参考答案： C 略 8. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为(　 ) A.        B.        C.  D. 参考答案： C 9. 双曲线的离心率等于 A.        B.          C.         D. 参考答案： C 10. 设实数x，y满足约束条件，则x+3y的取值集合中，整数的个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出可行域，利用平移求出最大值和最小值，结合x+3y是整数进行判断即可． 【解答】解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域， 平移直线，由平移可知当直线， 经过点C时，直线，的截距最大， 此时z取得最大值， 由得，即C（，）， 代入z=x+3y，得z=+3×=2， 即目标函数z=x+3y的最大值为2， 当直线经过A时，直线的截距最小， 此时z取得最小值， 由得，即A（﹣，﹣）， 此时z=﹣﹣3×=﹣4， 即﹣4≤z≤2， 其中x+3y为整数，则z=﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2共有8个， 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________. 参考答案： 12. 已知数列满足，对于任意的正整数都有，则_____________ 参考答案： 199 略 13. 已知命题p：?x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是　     　． 参考答案： a＞1 【考点】特称命题；命题的真假判断与应用． 【分析】将条件转化为ax2+2x+1＞0恒成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0 时，必须，从而解出实数a的取值范围． 【解答】解：命题p：?x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题， 即“ax2+2x+1＞0“是真命题 ①． 当a=0 时，①不成立， 当a≠0时，要使①成立，必须，解得a＞1， 故实数a的取值范围为a＞1． 故答案为：a＞1． 14. 件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为               . 参考答案： -12 略 15. 若向量满足：||=1，||=2，（），则的夹角是　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用． 【分析】利用向量的垂直关系求解即可． 【解答】解：向量：||=1，||=2，（）， 可得：（）=0， 即： =0， 1﹣2cosθ=0， 解得cosθ=．则的夹角是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，基本知识的考查． 16. 若正数x，y满足，则的最小值为        . 参考答案： 3 17. 已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）质监部门对一批产品进行质检，已知样品中有合格品7件，次品3件． (I)若对样品进行逐个检测，求连续检测到三件次品的概率； (Ⅱ)若从样品中一次抽取3件产品进行检测，求检测到次品数X的分布列及数学期望． 参考答案： 19. 已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为． （2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围． 【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为， 则右焦点F（）由题设 解得a2=3故所求椭圆的方程为； （2）设P为弦MN的中点，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0 由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1① ∴从而 ∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN， 则即2m=3k2+1② 把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得． 故所求m的取范围是（）． 20. （本小题满分14分）设函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若为锐角，，求的值． 参考答案： （1）由题设：，，           为偶函数，函数的图象关于直线对称，    或，，， ；                       （2），， 为锐角，                    ， ，          ． 21. 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响． （Ⅰ）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率； （Ⅱ）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标．达标或能断定不达标，则终止投篮．记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望EX． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）记“甲达标”为事件A，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，能求出甲达标的概率． （Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）记“甲达标”为事件A， 则×； （Ⅱ）X的所有可能取值为2，3，4． ， ××， ， 所以X的分布列为： X 2 3 4 P ． 22. （本小题14分）已知椭圆：， （1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围； （3）过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆：相交于四点，设原点到四边形的一边距离为，试求时满足的条件. 参考答案： （2）如图，依题意，直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去整理得， 由韦达定理，，， , 因为直线与椭圆相交，则， 即，解得或， 当为锐角时，向量，则， 即，解得， 故当为锐角时，. （3）如图， 依题意，直线的斜率存在，设其方程为，，，由于， ，即，又，            ① 联立方程组，消去得， 由韦达定理得，，代入①得 ， 令点到直线的距离为1，则，即， ， 整理得.