2023年湖北省荆州市监利县朱河中学高二数学理下学期期末试题含解析

2023年湖北省荆州市监利县朱河中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： B 略 2. 若函数，则     (    ) A．最大值为1，最小值为           B．最大值为1，无最小值 C．最小值为，无最大值       D．既无最大值也无最小值 参考答案： D 略 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，. 则函数 的零点的集合为             A.                B.           C.         D.        参考答案： C 4. 直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为(   　) A．相交         B．相切           C．相离            D．不确定 参考答案： A 略 5. 在数列{an}中，a1=2，，则an=（    ） A.2+lnn           B.2+(n－1)lnn       C. 2+nlnn         D.1+n+lnn 参考答案： A 6. 已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】由题意得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2．|EF1|+|EF2|取得最小值，求出m．由此能求出椭圆离心率． 【解答】解：由题意，m＞0知m+1＞1， 由得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0． 由△=16（m+1）2﹣12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m﹣2）≥0， 解得m≥2，或m≤﹣1（舍去）∴m≥2， 当且仅当m=2时，|EF1|+|EF2|取得最小值：2． 此时a=，c=， e=． 故选：D． 7. 若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（   ）． A．[1,+∞)     B． [-1,-)     C． (,1]      D．(-∞,-1] 参考答案： B 略 8. 书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　) A. 22种 B. 350种 C. 32种 D. 20种 参考答案： A 【分析】 从中任选一本阅读，选择的方法有三类，故选择1本书的方法需要分三种情况讨论，再利用加法原理解决问题. 【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法； 二是选择英语书，有7种不同的选法， 三是选择数学书，有5种不同的选法， 根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法. 【点睛】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是看清楚完成一件事包含有几类情况，计算出每一类所包含的基本事件数，进而相加得到结果. 9. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（　　） 　 A． 10 B． 9 C． 8 D． 7 参考答案： B 10. 用秦九韶算法求n 次多项式， 当时，求需要算乘法、加法的次数分别为   （    ） A．   B. 2n,n+1   C. n+1,n+1   D. n,n 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，函数的单调减区间为          参考答案： （-1,1） 12. 汽车以每小时50km的速度向东行驶，在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶1.2小时后，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时汽车与灯塔的距离为　_________　km． 参考答案： 30 13. 利用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的左边应增加的项数是         ． 参考答案：   14. 过点M（1，2）的抛物线的标准方程为　　． 参考答案： y2=4x或x2=y． 【考点】抛物线的标准方程． 【分析】先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解． 【解答】解：点M（1，2）是第一象限的点 当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0） ∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x； 当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0） ∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y． 故答案为：y2=4x或x2=y． 15. 若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y(kg)的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是______kg. 参考答案： 26 【分析】 由题意求出，代入回归方程，即可得到平均体重。 【详解】由题意：， 由于回归方程过样本的中心点，所以， 则这5名儿童的平均体重是26。 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，属于基础题。 16. 双曲线的渐近线与右准线围成的三角形面积为____▲__________. 参考答案： 17. 形如的函数，其图像对称中心为，记函数f(x)的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则__________． 参考答案： -4039 【分析】 先确定的对称中心，结合对称性求解. 【详解】, 令得，由于； 所以函数的图象的对称中心为 即有 所以. 【点睛】本题主要考查导数应用，根据所给情景，理解函数对称中心的求解方法，求出对称中心，结合对称性得出等式，根据目标式的特点进行分组求解. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 用0，1，2，3，4，5，6这七个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？ 参考答案： 【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、个位从1，3，5选择一个，②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，③、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案； （2）分2种情况讨论：①、个位数上的数字是0，②个位数上的数字是5，分别求出每一种情况的五位数个数，由加法原理计算可得答案； （3）分析可得：符合要求的比31560大的五位数可分为四类分4种情况讨论，分别求出每一种情况的五位数个数，由加法原理计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析： ①、个位从1，3，5选择一个，有种选法， ②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法， ③、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有A52种选法， 则个无重复数字的四位奇数； （2）分2种情况讨论： ①、个位数上的数字是0，在其余的4个数字中任选4个，安排在前4个数位，有种情况， 则此时的五位数有个； ②、个位数上的数字是5， 首位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法，在剩下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位， 有种情况， 则此时符合条件的五位数有个． 故满足条件的五位数的个数共有个； （3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类： 第一类：形如4□□□□，5□□□□，6□□□□，共个； 第二类：形如32□□□，34□□□，35□□□，36□□□共有个； 第三类：形如316□□，共有个； 第四类：形如3156□，共有2个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比31560大的四位数共有：个． 19. （16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程； （2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值． （3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为． （2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值． （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件． 【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2； ∴椭圆方程为 （2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1）， 直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4， 得 ∵x1=﹣，∴，∴，∴ ∴（定值） （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP 则由，从而得m=0 ∴存在Q（0，0）满足条件（14分） 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答． 20. ( 13分)已知函数，() (1) 证明：函数是R上的单调递增函数； （2）解关于的不等式，其中. 参考答案： （1），因为，所以 所以函数是R上的单调递增函数 (2),所以是奇函数 由（1）知函数是R上的单调递增函数，所以 整理得，即 当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 21. （10分） 已知数列满足：， （1）求、； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.   (3) 求证:   （） 参考答案： （1） 22. （本题12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点， 求(1)求异面直线C1E与BD 所成角的余弦值 （2）求二面角C1-DE-C的余弦值 参考答案：