内蒙古自治区呼和浩特市宇星中学2021-2022学年高一数学文月考试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市宇星中学2021-2022学年高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等比数列a，2a＋2，3a＋3，…，则第四项为（　  ） A．－        B．        C．－27            D．27 参考答案： A 2. 给出下面四个函数，其中既在上的增函数又是以为周期的偶函数的函数是（    ） A．    B．    C．y＝cos2x      D． 参考答案： B 3. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ）   A．    B．   C．     D． 参考答案： B 略 4. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(　　) A．简单随机抽样      B．系统抽样 C．分层抽样          D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样 参考答案： D 5. 设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象. 根据上述数据，函数的解析式为（       ） A．    B． C．    D． 参考答案： A 6. 如图所示，单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形（阴影部分）面积的2倍，则函数的图象是 （    ）  A．                 B．                   C．                 D． 参考答案： D 7. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n?α，则m∥n D．若m⊥n，n?α，则m⊥α 参考答案： B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】在A中，n∥α或n?α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，m与n平行或异面；在D中，m与α相交、平行或m?α． 【解答】解：由m，n表示两条不同直线，α表示平面，知： 在A中：若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，故A正确； 在B中：若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确； 在C中：若m∥α，n?α，则m与n平行或异面，故C错误； 在D中：若m⊥n，n?α，则m与α相交、平行或m?α，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 8. 公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列，若＝1，则＝(　　) A．－20       B．0         C．7       D．40 参考答案： A 9. 等比数列{an}的公比为q，则q＞1是“对于任意n∈N+”都有an+1＞an的_______条件。 A、必要不充分条件         B、充分不必要条件 C、充要条件                  D、既不充分也不必要条件 参考答案： D 10. 已知函数则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 参考答案： C ，， 故答案为C。   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 经过两圆和的交点的直线方程________.                  参考答案： 4 x+3y+13=0 12. 已知函数，试求函数f(2x-3)的表达式       ． 参考答案： 13. 在⊿ABC中，，且三角形的面积为，若不是最大边，则边=       。 参考答案： 14. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是               参考答案：   略 15. 集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是________． 参考答案： (2,3) 16. 对于函数＝，给出下列四个命题： ①该函数是以为最小正周期的周期函数； ②当且仅当 (k∈Z)时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于 (k∈Z)对称； ④当且仅当 (k∈Z)时，0＜≤. 其中正确命题的序号是________　　　(请将所有正确命题的序号都填上) 参考答案： ③、④ 略 17. （5分）已知函数f（x）是定义为在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2），若x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x+1）成立，则实数a的取值范围是            ． 参考答案： [﹣，] 考点： 函数恒成立问题． 专题： 计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用． 分析： 由于当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2）．可得当0≤x≤a2时，f（x）=﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣3a2．画出其图象．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象．由于x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1），即有?x∈R，f（x﹣2）≤f（x），可得6a2≤2，解出即可． 解答： ∵当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2）． ∴当0≤x≤a2时，f（x）=（a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2）=﹣x； 当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2； 当x＞3a2时，f（x）=x﹣3a2． 画出其图象． 由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象， 与x＞0时的图象关于原点对称． ∵?x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1）， 即有?x∈R，f（x﹣2）≤f（x）， ∴6a2≤2， 解得﹣≤a． ∴实数a的取值范围为[﹣，]． 故答案为：[﹣，]． 点评： 本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}为等比数列，，公比，且成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，，求使的n的取值范围. 参考答案： (1) ；(2) 【分析】 （1）利用等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得，解不等式求得的取值范围. 【详解】解：（1）∵成等差数列，得， ∵等比数列，且，∴  解得或 又，∴，∴ （2）∵，∴ ∴ 故由，得. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，考查裂项求和法，考查不等式的解法，属于中档题. 19. 已知函数是二次函数，且，． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）求证在区间上是减函数. 参考答案： 解：（Ⅰ）设                                               又 结合已知得            （Ⅱ）证明：设任意的且         则                                                 又由假设知      而      在区间上是减函数.   略 20. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证： （1）CD⊥PD； （2）EF⊥平面PCD． 参考答案： 【考点】LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD． （2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD． 【解答】（本题满分8分） 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA． 又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD． （2）取PD的中点G，连结AG，FG． 又∵G、F分别是PD、PC的中点， ∴GF平行且等于CD， ∴GF平行且等于AE， ∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF． ∵PA=AD，G是PD的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD． ∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD． 21. （1）设x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求证x2＋y2＋z2≥； （2）设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c （a＞0），方程f (x)－x＝0有两个实根x1，x2， 且满足：0＜x1＜x2＜，若x(0，x1)。 求证：x＜f (x)＜x1   参考答案： （1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz                                      ≤3(x2＋y2＋z2)         ∴x2＋y2＋z2≥    （2）令F(x)＝f(x)－x，x1，x2是f(x)－x＝0的根， ∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2) ∵0＜x＜x1＜x2＜     ∴x－x1＜0，x－x2＜0   a＞0 ∴F(x)＞0   即x＜f (x) 另一方面：x1－f (x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x－a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)] ∵0＜x＜x1＜x2＜ ∴x1－x＞0  1＋a(x－x2)＝1＋a x－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0     ∴f(x)＜x1 综上可得：x＜f(x)＜x1 22. 已知定义在区间[]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sinx. (1)作出y＝f(x)的图象； (2)求y＝f(x)的解析式； (3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围. 参考答案： （1）见解析；（2）f(x)＝（3）见解析 【分析】 （1）先根据当时，f（x）＝﹣sinx画出在[，]上的图象；再根据图象关于直线对称把另一部分添上即可； （2）先根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]，再结合当时，f（x）＝﹣sinx即可求出y＝f（x）的解析式； （3）结合图象可得：关于x的方程f（x）＝a有解可以分为四个根，三个根，两个根三种情况，再分别对每种情况求出所有的解的和Ma即可． 【详解】(1)y＝f(x)的图象如图所示. (2)任取x∈， 则－x∈， 因函数y＝f(x)图象关于直线x＝对称， 则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sinx， 则f(x)＝f＝－sin＝－cosx， 即f(x)＝ (3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝； 当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则Ma＝π； 当a＝－时，f(x)