2023年江西省赣州市大坪中学高三数学理下学期期末试题含解析

2023年江西省赣州市大坪中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了古典概型定义及计算，排列，计数原理，属于中档题． 2. 设为等比数列的前项和，已知，，则公比（      ） A．3            B．4          C．5           D．6 参考答案： B 3. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点 是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（   ）    A． B．       C． D． 参考答案： D 略 4. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（   ）．   A．30                   B．60 C．70                   D．80 参考答案： C 5. 如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（    ） A．6π         B．       C．4π     D． 参考答案： C 此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成. 表面积为 【命题意图】此题源于教材，此题考查了组合体的三视图，球的表面积公式，扇形面积公式. 此题生活模型可看做一个甜筒，也可看做一个唐朝流传下来的玩具不倒翁模型. 6. 要得到函数的图象，可以将（     ） A．函数的图象向左平移1个单位长度 B．函数的图象向右平移1个单位长度 C．函数的图象向左平移1个单位长度 D．函数的图象向右平移1个单位长度 参考答案： D 7. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（　　） A． B．1 C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出． 【解答】解： ==， =， 设，，则， =， ∵==+=（）+（）， ∴，解得． ∴λ1+λ2==． 故选A． 8. 函数与的图像所有交点的横坐标之和为     A.         B.          C.        D. 参考答案： B 9. 复数z＝ ， 则|z|＝ A．25　           B. 5               C.3           D.1 参考答案： B 10. 已知曲线(为参数).若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，则的值为（  ） A. B. C. 1 D. 参考答案： C 分析：消参求出曲线C的普通方程：，再求出圆心到直线的距离，则弦长。 详解：根据 ，求出曲线C的普通方程为， 圆心到直线的距离，所以弦长 ，选C. 点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数（e为常数）是奇函数，则a=　　． 参考答案： 略 12. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为            元. 参考答案： 216000 试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件 目标函数. 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点M时，z取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 13. 设（为虚数单位）则=          参考答案： 2 14. 已知函数，则不等式的解集为          ． 参考答案： 15. 已知的中线交于且四点共圆，则       ； 参考答案： 16. 各面均为等边三角形的四面体的外接球的表面积为，过棱作球的截面，则截面面积的最小值为          ． 参考答案： 17. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　　． ①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1； ③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为； ④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB． 参考答案： ①②③ 考点： 命题的真假判断与应用．  专题： 函数的性质及应用． 分析： 本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论． 解答： 解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确； ②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确； ③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确； ④若△ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinA＞cosB，④错误． 故答案为：①②③ 点评： ③的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 　（12分）（2015?庆阳模拟）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且该椭圆的离心率为，直线l1：y=x+m（m≠0）与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=x﹣m与椭圆交于C，D两点． （1）求椭圆M的方程； （2）求四边形ABCD面积的最大值． 参考答案： 【考点】： 椭圆的简单性质． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： （1）将点（1，）带入椭圆方程，并根据离心率，这样便可得到关于a，b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程为； （2）先容易判断出四边形ABCD为平行四边形，所以面积为弦长|AB|与直线l1，l2之间距离的乘积，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据弦长公式即可得到|AB|=，根据直线l1，l2的方程即可求出这两直线间的距离为，所以得到四边形ABCD的面积为，根据基本不等式即可求该面积的最大值． 解：（1）依题意可得，； 解得a2=4，b2=1； ∴椭圆M的方程为； （2）显然直线l1与直线l2关于原点对称，所以四边形ABCD为平行四边形； ∴|AB|=|CD|，?ABCD的面积为弦长|AB|与直线l1，l2距离的乘积； 设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得，5x2+8mx+4m2﹣4=0； 则△=16（5﹣m2）＞0，∴0＜m2＜5； 根据韦达定理； ∴=； 直线l1与l2的距离为； ∴=； 当且仅当时等号成立； ∴四边形ABCD面积的最大值为4． 【点评】： 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率e=，以及曲线上点的坐标和曲线方程的关系，韦达定理，弦长公式，求两平行线间的距离，椭圆的对称性，以及基本不等式的运用． 19. （本小题满分12分） 已知椭圆 的上、下、左、右四个顶点分别为A、B、C、D，x轴正半轴上的某点G满足 （1）求椭圆的方程； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点M在圆上， 且M在第一象限，过M作圆的切线交椭圆于P,Q两点， 求证：△PF2Q的周长是定值．   参考答案： （1）设点的坐标为（），可知，，    …………2分 ，.                              …………4分 因此椭圆的方程是                           …………5分 （2）方法1：设，则，           …………6分 ， ∵，∴，                           …………8分 在圆中，是切点， ∴，  ……………10分 ∴， 同理，∴，       …………11分 因此△的周长是定值． …………12分 方法2：设的方程为， 由，得           …………7分 设，则，，    …………8分 ∴ ，                     …………9分 ∵与圆相切，∴，即， ∴，   ∵，    …………10分 ∵，∴， 同理可得 ， ∴，  ……11分 因此△的周长是定值．   …………12分   20. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. (I) 证明：B，C，G，F四点共圆； (II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积. 参考答案： （Ⅰ）因为DF⊥EC，所以，则有 ， ， 所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°，所以B，C，G，F四点共圆. （II）由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB，连结GB. 由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF=GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG， 因此四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，即 S=2S△GCB=.   21. 已知椭圆Cn： +=n（a＞b＞0，n∈N*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且?=0； （1）求Cn的离心率并求出C1的方程； （2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）椭圆C4的方程为： +=1，由?=0．∴⊥，可得b2，a2即可； （2）由距离公式得到点P到直线l的距离d，由弦长公式得到MN，△QMN的面积为s=即可得证． 【解答】解：（1）椭圆C4的方程为：C4： +=4    即： +=1 不妨设c2=a2﹣b2   则F2（2c，0） ∵?=0．∴⊥， ∴2c=2， == ∴c=1，2b2=a，2b4=a2=b2+1， ∴2b4﹣b2﹣1=0， ∴（2b2+1）（b2﹣1）=0， ∴b2=1，a2=2 ∴椭圆Cn的方程为： +y2=n ∴