湖南省张家界市一鸣实验中学2023年高二数学文月考试卷含解析

湖南省张家界市一鸣实验中学2023年高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系是（     ） A、∥     B、与异面     C、与相交       D、与没有公共点 参考答案： D 2. 已知等比数列的各项均为正数，公比，记，，则P与Q大小关系是（    ） A．     B．     C．      D．无法确定 参考答案： A 略 3. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 结合几何体的特征和三视图的定义可得该几何体的侧视图如选项D所示. 本题选择D选项. 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．   4. 已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（    ） A.             B.               C.            D. 参考答案： D 5. 若函数在区间[1,2]内是减函数，，则 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 本题首先可以求出函数的导函数，然后根据“函数在区间内是减函数”即可推出“导函数在区间内小于等于0”，最后即可通过计算得出结果。 【详解】，， 因为函数在区间内是减函数， 所以导函数在区间内小于等于0， 即，故选C 6. 设函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为  （　　） A． B．2π C．4π D．π 参考答案： D 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由题意求得x=，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，根据?=﹣，解得ω的值． 【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调， ∴﹣≤==，即≤，∴0＜ω≤3． ∵f（）=f（）=﹣f（）， ∴x==，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴， 且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心， ∴=?=﹣=，解得ω=2∈（0，3]，∴T==π， 故选：D． 　 7. 下列命题正确的是（      ） A. 直线与平面不平行，则直线与平面内的所有直线都不平行 B．如果两条直线在平面内的射影平行，则这两条直线平行 C．垂直于同一直线的两个平面平行 D．直线与平面不垂直，则直线与平面内的所有直线都不垂直 参考答案： C 8. 函数是 （A）周期为的奇函数                （B）周期为的偶函数 （C）周期为的奇函数               （D）周期为的偶函数 参考答案： A 9. 若非零向量，满足||＝||，(2＋)·＝0，则与的夹角为（     ） A．150°         B．120°          C．60°           D．30° 参考答案： B 10. 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于         （ ） A．30° B．60° C．60°或120°    D． 30°或150° 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若过点（1，2）总可以作两条直线和圆相切，则实数k 的取值构成的集合是_________________. 参考答案： 12. 与曲线关于对称的曲线的极坐标方程是                                                  。 参考答案： 13. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是________． 参考答案： i≤1007或i<1008 略 14. 随机变量服从正态分，若P(>11)=a，则P(9<≤ll) =______ ； 参考答案： 1-2a 15. 已知实数满足下列两个条件： ①关于的方程有解；②代数式有意义。则使得指数函数为减函数的概率为_________． 参考答案： 略 16. 的展开式中的系数是       。 参考答案： -20 17. 不等式3x-3x+2的解集是_____________ 参考答案：   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若，证明：直线过定点．   参考答案： （Ⅰ）抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为，       -------------------2分 不妨取，即，∴焦点到渐近线的距离为，-------------4分 ∵，∴            ------------------------------------------6分 （Ⅱ）设所在直线的方程为，代入中，得， 设，则有，从而． 则．                               ------------------------------------------8分 设所在直线的方程为，同理可得． ，所在直线的方程为， 即．                   ------------------------------------------10分 又，即，代入上式，得， 即 ．∵，∴是此方程的一组解， 所以直线恒过定点．                  ------------------------------------------12分 19. （本题满分为12分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点． （1）如果直线l过抛物线的焦点，求的值； （2）如果，证明：直线l必过一定点，并求出该定点． 参考答案： 解:　(1)由题意：抛物线焦点为， 设，代入抛物线，消去,整理得:， 设,，则, ∴＝ ＝.                 ------6分 (2)设，代入抛物线，消去,整理得:， 设,，则, ∴＝ ＝, 令,解出 ∴直线过定点． ∴若，则直线必过一定点 ．------12分   20. （本小题满分10分）已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的最大值和最小值，以及取得最大值时的值. 参考答案： （Ⅰ） 的最小正周期为. （Ⅱ）此时，，即. 21. 已知抛物线和点，过点P的直线与抛物线交与两点，设点P刚好为弦的中点。 （1）求直线的方程    （2）若过线段上任一（不含端点）作倾斜角为的直线交抛物线于，类比圆中的相交弦定理，给出你的猜想，若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。     （3）过P作斜率分别为的直线，交抛物线于，交抛物线于，是否存在使得（2）中的猜想成立，若存在，给出满足的条件。若不存在，请说明理由。 参考答案： 解：（1） （2）猜想     22. 已知数列{an}满足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95． （1）求a1，a2的值； （2）求实数t，使得bn=（an+t）（n∈N*）且{bn}为等差数列； （3）在（2）条件下求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）当n=2时，a2=3a1+8，当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，可得a2=23，代入即可求得a1=5； （2）由等差数列的性质可知：bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值； （3）由等差数列的通项公式可得bn=+（n﹣1）=n+，求得an=（n+）3n+，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{an}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）当n=2时，a2=3a1+8， 当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95， ∴a2=23， ∴23=3a1+8， ∴a1=5； （2）当n≥2时，bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）． 要使{bn}为等差数列，则必须使1+2t=0， ∴t=﹣， 即存在t=﹣，使数列{bn}为等差数列． （3）∵当t=﹣，时，数列{bn}为等差数列，且bn﹣bn﹣1=1，b1=， ∴bn=+（n﹣1）=n+， ∴an=（n+）3n+， 于是，Sn=×3+32+…+?3n+×n， 令S=3×3+5×32+…+（2n+1）?3n，① 3S=3×32+5×33+…+（2n+1）?3n+1，② ①﹣②得﹣2S=3×3+3×32+2×33+…+2?3n﹣（2n+1）?3n+1，② 化简得S=n?3n+1， ∴Sn=+=， 数列{an}的前n项和Sn，Sn=．