湖南省郴州市复和中学2021年高三数学理联考试卷含解析

湖南省郴州市复和中学2021年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若，则    A．                         B．      C．                         D．无法判断与的大小 参考答案： C 略 2. 函数的图象大致是（     ） 参考答案： C 3. 面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为  (       ) A.          B.        C.    D.  参考答案： B 4. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是 A.91  5.5 B.91  5 C.92  5.5 D.92  5 参考答案： A 5. 已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值（　　） 　 A． 恒为正数 B． 恒为负数 C． 恒为0 D． 可正可负 参考答案： A 考点： 等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．3794729 专题： 计算题． 分析： 由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数． 解答： 解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列， ∴取任何x2＞x1， 总有f（x2）＞f（x1）， ∵函数f（x）是R上的奇函数， ∴f（0）=0， ∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数， ∴当x＞0，f（0）＞0， 当x＜0，f（0）＜0． ∵数列{an}是等差数列， a1+a5=2a3， a3＞0， ∴a1+a5＞0， 则f（a1）+f（a5）＞0， ∵f（a3）＞0， ∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数． 点评： 本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题． 6. 将函数图象向右平移（）个单位，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为 A．                 B．                 C．                 D． 参考答案： C 7. 已知直线，平面，且，下列命题中正确命题的个数是 ①若，则    ②若，则 ③若，则;    ④若，则    A．1            B．2             C．3            D．4 参考答案： B 略 8. 已知直线y＝mx与函数 的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ） A．( ，4) B．( ，＋∞) C．( ，5) D．( ， ) 参考答案： B 9. 已知，那么tan x等于                   （           ） A．                B．           C．              D． 参考答案： D 10. “sinα= “是“α=30°”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：当α=150°，满足sinα=，但α=30°不成立． 若α=30°，满足sinα=， ∴“sinα= “是“α=30°”的必要不充分条件． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： C 略 12. 已知抛物线的焦点为F，过点A（4，4）作直线垂线，垂足为M，则∠MAF的平分线所在直线的方程为          . 参考答案： 略 13. 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 参考答案： 14. 设 的最大值为16，则           。 参考答案： 15. 甲、乙两人参加歌咏比赛的得分（均为两位数）如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线与以为圆心的圆交于B，C两点，且，则圆的标准方程为  ▲  . 参考答案： 16. 某个容量为的样本的频率分布直方图如左下，则在区间上的数据的频数为           ． 参考答案： 17. 已知中，所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是----------_________. （把正确答案的序号都写在横线上）                ①.            ②.       ③,.       ④. 参考答案： ④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设的最小值为k. （1）求实数k的值； （2）设m，，，求证：. 参考答案： （1）；（2）见详解. 【分析】 (1)将函数表示为分段函数，再求其最小值. (2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式. 【详解】（1） 当时，取得最小值，即. （2）证明：依题意，，则. 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以. 【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解.已知或(是正常数，)的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值. 19. （本小题满分12分） 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. 　   （1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：              3   5   3   3   8   5   5   6   3   4              6   3   4   7   5   3   4   8   5   3 8   3   4   3   4   4   7   5   6   7 该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率； （2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为： ，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望． 参考答案： 解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件--------------------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为，------4分 二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；-------------------5分 三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．-------------6分  (2)∵的可能取值为：1,2,4 1 2 4 0.5 0.3 0.2 用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得,,-----------8分 ∴可得的分布列如右：------------------------------------10分   其数学期望(元)---------12分 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{bn}的通项公式； （3）在（2）的条件下，设cn=2n+λbn，问是否存在实数λ使得数列{cn}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合． 【分析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化为：an=2an﹣1．即可得出． （2）==﹣﹣…+（﹣1）n+1，n≥2时， =﹣﹣…+，相减可得：bn=（﹣1）n．当n=1时， =，解得b1=． （3）cn=2n+λbn，n≥3时，cn=2n+λ，cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n?λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出． 【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2； n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an=2an﹣1． ∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为2．∴an=2n． （2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n+1， ∴=﹣﹣…+， ∴=（﹣1）n+1，∴bn=（﹣1）n． 当n=1时， =，解得b1=．∴bn=． （3）cn=2n+λbn， ∴n≥3时，cn=2n+λ，cn﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ， cn﹣cn﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n?λ＞﹣． ①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅当n=4时，λ＞﹣． ②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜，当且仅当n=3时，λ＜． 当n=2时，c2﹣c1=﹣＞0，即λ＜8． 综上可得：λ的取值范围是． 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21. 已知：三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为2，平面ABC⊥平面AA1C1C， ∠A1AC＝60°． （1）求证：B1C⊥平面A1BC1； （2）求二面角B1－A1B－C1的大小；   （3）设O是线段A1C的中点，P是△ABC内部及边界上的一动点，使OP//平面A1BC1，试指出动点P的轨迹图形是什么？请说明你的理由.   参考答案： 解析：（1）证明：取A1C1的中点M，连CM、B1M ∵三棱柱ABC－A1B1C1　　　∴各棱长均相等，∠A1AC＝60° ∴△A1CC1与△A1B1C1都是等边三角形 ∴ ∵平面ABC⊥平面AA1C1C，　 ∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C ∴B1M⊥平面AA1C1C，由三垂线定理得：B1C⊥A1C1 又∵四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1　　 而 ∴B1C⊥平面A1BC1 （2）连AB1与A1B交于G点，设B1C与BC1交于H点，连GH，则GH 取AC的中点N，连BN，A1N，可证AC⊥A1B　　∴GH⊥A1B 又∵四边形AA1B1B是菱形