湖南省怀化市袁家学校中学部2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

湖南省怀化市袁家学校中学部2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 参考答案： D 由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 2. 函数的单调递增区是（  ） 　A.　　  B. 　　C. 　　     D. 参考答案： D 3. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax(a>0, a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（    ） A．[1, 3] B．[2, ]    C．[2, 9] D．[, 9] 参考答案： C 4. 若向量,则下列结论中错误的是        A．             B．    C． D．对任一向量，存在实数，使 参考答案： C 因为，所以；又因，所以；与为不共线向量，所以对任一向量，存在实数，使. 故选C. 5. 如图，设全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 参考答案： C 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】集合． 【分析】由Vemn可知图中阴影部分所表示的集合?M∩N，求出集合M的补集，再根据交集的定义即可求出． 【解答】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合?M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴?M={x|x≤2}， ∴?M∩N={0，1，2}， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键． 6. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=(     ) A． B． C．3 D．6 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可． 【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（3，0），准线为A，准线与C'轴的交点为AB，P 过点f（x）=|x+1|+|x﹣1|作准线的垂线，垂足为f（x）＜4，由抛物线的定义知M 又因为M，所以，a，b∈M 所以，2|a+b|＜|4+ab|，所以，． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力以及转化思想的应用． 7. 若有2本数学书，2本英语书放在书柜同一层，则数学书不放一起的概率是 (A)          (B)          (C)          (D) 参考答案： D 8. 已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 参考答案： C  【知识点】双曲线的简单性质．H6 解析：由题意可知，一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为 y﹣0=k（x﹣c），代入渐近线方程 y=x，可得H的坐标为（，），故F2H的中点M（，），根据中点M在双曲线C上，∴=1，∴=2，故e==， 故选：C． 【思路点拨】设一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为y﹣0=k（x﹣c），代入渐近线方程 求得H的坐标，有中点公式求得中点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线求得离心率． 9. 已知向量，，若，则的值是（    ） A．         B．0       C．1        D．2 参考答案： A 10. 若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”: （1）非负性:，当且仅当时取等号； （2）对称性:； （3）三角形不等式:对任意的实数z均成立. 今给出四个二元函数:①；②；③；④. 能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是               A. ①       B. ②      C. ③     D. ④ 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义：对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，称函数在上是“”函数。已知下列函数：①；　②；③()；　④，其中属于“”函数的序号是            ．（写出所有满足要求的函数的序号） 参考答案： ③ 12. 在△ABC中，若，则∠C=___________. 参考答案： 【分析】 由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：， 由于，故，则.   13. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为　　． 参考答案： 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【分析】设B1B=a，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°推知BC=a，DC=推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度，再用余弦定理求解． 【解答】解：设B1B=a， ∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45° ∴BC=a，DC= ∴ 由余弦定理得：cos 故答案为： 【点评】本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理． 14. 已知实数x，y满足4x2+y2+3xy=1，则2x+y的最大值为　　． 参考答案： 【考点】基本不等式． 【专题】整体思想；综合法；不等式． 【分析】由题意和基本不等式整体变形可得2x+y的不等式，解不等式可得． 【解答】解：∵实数x，y满足4x2+y2+3xy=1， ∴4x2+y2+4xy=1+xy， ∴（2x+y）2=1+2xy≤1+（）2， 解关于2x+y的不等式可得2x+y≤， 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解集，属基础题． 15. 在数列{an}中，a1=1，(n2+2n)(an+1－an)=1(n∈N*)，则通项公式an=　 　． 参考答案：   【考点】数列递推式． 【分析】把已知数列递推式变形，然后利用累加法求数列的通项公式． 【解答】解：由，得： =． ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =． 故答案为：． 【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题． 　 16. 如图伪代码的输出结果为       ． S←1 For  i  from  1 to 4 S←S+i End  For Print  S     参考答案： 11 第一步：S＝1＋1＝2 第二步：S＝2＋2＝4 第三步：S＝4＋3＝7 第四步：S＝7＋4＝11 17. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为        ． 参考答案： 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】  由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为， 这个几何体的表面积为8××1×=2 ∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是， ∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：． 【思路点拨】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是 ，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是 ，求出表面积及球的表面积即可得出比值． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 （1）求的值； （2）若的大小. 参考答案： （本小题满分14分）           解：（I）由，即， ，……………4分 …………………7分 （II）易得，…………………9分 ∴由得，而，， 解得……………………12分    ∵     ∴………………14 分 19. 已知向量 (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)若,且,求x的值 参考答案： 略 20. 已知数列中，． （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）设，若，使成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）略（2）（3） 试题分析：（Ⅰ）证明：∵， ∴． ∵，∴． ∴． ∴数列是首项、公比均为2的等比数列．………………………………………………………4分 （Ⅲ）解：∵， ∴．………………………………10分 ∴ 故．…………………………………………………………11分 若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为．……………………………………………………………………13分 考点：累加法求数列通项公式，裂项相消法数列求和，恒成立问题. 【方法点睛】证明数列为等比数列，就是证明数列的后一项与前一项的比为同一个常数，证明时千万注意题目的暗示，谁是等比数列？证明什么？目标明确了，就有了证明的方向.掌握求数列的通项公式的基本方法，特别是累加与累乘法及构造法，是高考常见考法，数列求和常用方法有分组求和法、倒序相减法、裂项相消法、错位相减法等，而近年高考命题中的数列求和，则偏向分析法分组求和. 21. 设函数f（x）=x2﹣2x （Ⅰ）解不等式|f（x）|+|x2+2x|≥6|x|； （Ⅱ）若实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2|a|+3． 参考答案： 考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用；推理和证明． 分析：（Ⅰ）原不等式化为因式乘积的形式，利用绝对值不等式的几何意义，求解即可． （Ⅱ）直接利用因式分解，放缩法，绝对值的性质，证明即可． 解答： （24）（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲 解：（Ⅰ）原不等式|f（x）|+|x2+2x|≥6|x|可化为：（|x﹣2|+|x+2|）|x|≥6|x|；解得x≤﹣3或x≥3 ，或x=0． 所以，原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥3，或x=0}； … （Ⅱ）证明：∵f（x）=x2﹣2x，|x﹣a|＜1， ∴|f（x）﹣f（a）| =|x2﹣2x﹣a2+2a| =|x﹣a||x+a﹣2| ＜|x+a﹣2| =|（x﹣a）+2a﹣2| ≤|x﹣a|+|2a﹣2| ＜1+2|a|+2 =2|a|+3， ∴|f（x）﹣f（a）|＜2|a|+3．… 点评：本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，绝对值的几何意义，考查逻辑推理能力以及计算能力． 22. 已知函数． (1)求函数在时的取值范围； (2)若，是第二象限角，求的值． 参考答案： (1)f(x)＝sin2x－2cosx(－cosx)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1 ＝2sin(2x＋)＋1．．．．．．．．．．．3分 (2)∵f(－)＝2sinα＋1＝，∴sinα＝.．．．．．．．．8分 ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.   ．．．．．．．．