湖北省宜昌市第五中学2021年高三数学文期末试卷含解析

湖北省宜昌市第五中学2021年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若以P为球心且1为半径的球与三棱锥P-ABC公共部分的体积为，球O的体积为，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由题意可知是半径为1的球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为. 【详解】由题意易得：， 将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：， 从而，， 所以， 故选B. 【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: . 2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是(   ) A． B．      C.．      D． 参考答案： C 3. 已知集合,集合,则= A.     B.         C.        D. 参考答案： A 4. 已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为(   ) A．              B．              C．             D．   参考答案： D 5.        A．2          B．-2      C．      D．1 参考答案： C 6. 已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数=（  ） A．        B．    C．0     D． 参考答案： D 7. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.             B.            C.             D. 参考答案： A 8. 已知P为双曲线右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1，F2为双曲线的左、右焦点，则（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 参考答案： B 【分析】 设出P的坐标，求出Q坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可． 【详解】P为双曲线x2﹣y2＝1右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1（，0），F2（，0）为双曲线的左，右焦点， 设P（t，m），则Q（t，﹣m），根据点P在双曲线上得到：t2﹣m2＝1， 则（t，m）?（t，-m）＝t2﹣m2﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力． 9. 已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　） A．（21，25） B．（21，24） C．（20，24） D．（20，25） 参考答案： B 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围． 【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：   ∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d． 且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6． ∴﹣log3a=log3b，c+d=10， 即ab=1，c+d=10， 故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4， 由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4， 即21＜﹣c2+12c＜24， ∴abcd的范围为（21，24）． 故选：B． 【点评】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用． 10. 已知 = ，则 + +… + =                  （    ）          A、           B、           C、          D、 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是         . 参考答案： 略 12. 设为平面上过点（0，1）的直线，的斜率等可能地取：，用X表示坐标原点到的距离，则随机变量X的数学期望是_______ 参考答案： 13. 若，则的取值范围是 . 参考答案： 14. 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是    ． 参考答案： （﹣∞，4] 【考点】函数恒成立问题． 【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】由已知可得a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围． 【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立， ∴a≤x+2lnx+，x＞0， 令y=x+2lnx+， 则y′=1+﹣=， 由y′=0，得x1=﹣3，x2=1， 当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y=x+2lnx+为减函数； 当x∈（1，+∞）时，y′＞0，函数y=x+2lnx+为增函数． ∴x=1时，ymin=1+0+3=4． ∴a≤4． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]． 故答案为：（﹣∞，4]． 【点评】本题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题． 15. 若关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围为                参考答案： 16. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为           参考答案： 略 17. 为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为      ． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. (1)求和； (2)若,求实数的取值范围. 参考答案： 19. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题． （Ⅰ）+++abc≥2； （Ⅱ）++≥． 参考答案： 【考点】R6：不等式的证明． 【分析】利用三项的均值不等式可得结论． 【解答】证明：（Ⅰ）因为a，b，c为正实数， 由均值不等式可得，即 所以， 而，所以．… （Ⅱ）．… 20. ． （1）证明：存在唯一实数a，使得直线和曲线相切； （2）若不等式有且只有两个整数解，求a的范围． 参考答案： （1）设切点为，则 ①， 和相切，则  ②， 所以， 即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切． （2）令，即，所以， 令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，， 当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去； 当时，，又，所以两个整数解为0，1，即， 所以，即， 当时，，因为在内大于或等于1， 所以无整数解，舍去，综上，． 21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.满足. （1）求角C的大小； （2）若，△ABC的面积为，求c的大小. 参考答案： （1）（2） 【分析】 (1)根据题意，由正弦定理和正余弦和差角公式进行化简，求得cosC的值，求出角C； （2）先用面积公式求得b的值，再用余弦定理求得边c. 【详解】(1)在中，因为， 所以由正弦定理可得：， 所以，又中，，所以. 因为，所以. (2)由，，，得. 由余弦定理得，所以. 【点睛】本题考查了解三角形中的正余弦定理和面积公式，解题关键是在于公式的合理运用，属于基础题. 22. 已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）． （Ⅰ）求圆心C的直角坐标； （Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标． （Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为，由此利用配方法能求出切线长的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵=2﹣2， ∴， ∴圆C的直角坐标方程为，即（x﹣）2+（y+）2=4， ∴圆心的直角坐标为（，﹣）． （Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为： ==， ∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4．