浙江省绍兴市蒿坝镇中学2023年高二数学理期末试题含解析

浙江省绍兴市蒿坝镇中学2023年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　） A．（x+2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣2）2+（y+1）2=1 D．（x+2）2+（y+1）2=1 参考答案： B 【考点】轨迹方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论． 【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y）， 则x1=2x﹣4，y1=2y﹣2 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y﹣2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y﹣1）2=1． 故选：B． 【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键． 2. 如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】67：定积分． 【分析】先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可． 【解答】解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（）， 而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=， 所以围成的图形的面积为S==（x﹣x3）|+（x3﹣x）| =． 故答案选D． 【点评】本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间． 3. 数列1，0，1，0，……的一个通项公式为 A．　　　B．　　　C．　　　D． 参考答案： C 4. 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间(　　) A．(－，0)  B．(0，)          C．(，)   D．(，) 参考答案： C 5. 设a，b是两个非零实数，且aab2，（3），（4），（5）这几个式子中，恒成立的有 A．1个              B．2个              C．3个             D．4个 参考答案： A 6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(  ) A. －80 B. －40 C. 40 D. 80 参考答案： D 【分析】 中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，展开式中常数项为的常数项与的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，     ， 展开式中常数项为的常数项与的系数和 展开式的通项为， 令得;令，无整数解， 展开式中常数项为，故选D. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 7. 设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（　　） A．1 B．4 C．2 D．不能确定 参考答案： B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值． 【解答】解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点， 即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4， ∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5， ∴P（ξ＞4）=0.5， 由正态曲线的对称性知μ=4， 故选：B． 【点评】从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大． 8. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的      （A）重心 外心 垂心   （B）外心 重心 垂心   （ C）重心 外心 内心   （D）外心 重心 内心 参考答案： B 略 9. 曲线的焦距为4，那么的值为（    ） A、             B、           C、或        D、或 参考答案： C 略 10. △ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(    ) A．直角三角形                        B． 钝三角形        C．锐角三角形                     D．锐角或直角三角形 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不低于乙的平均成绩的概率为        ． 参考答案：    12. 已知数列1，，，，…的一个通项公式是an=　　． 参考答案： 【考点】数列的应用． 【分析】数列1，，，，…的分母是相应项数的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论． 【解答】解：∵数列1，，，，…的分母是相应项序号的平方，分子组成以1为首项，2为公差的等差数列 ∴数列1，，，，…的一个通项公式是an= 故答案为： 13. 在如图所示的数阵中，第行从左到右第3个数是                   参考答案： 略 14. 为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则____  。 参考答案： 略 15. 一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为　 　． 参考答案： 6 【考点】球的体积和表面积． 【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可． 【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2 ．∴R=6． 故答案为：6 16. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右第j个数，如a42=8．若aij=26，则（i，j）=　_________　；若aij=2014，则i+j=　_________　． 参考答案： 17. 阅读右侧的程序框图,输出的结果的值为______. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，     （i）摸出3个白球的概率；    （ii）获奖的概率； （Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . 参考答案： 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.    （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则         （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又         且A2，A3互斥，所以    （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.         所以X的分布列是 X 0 1 2 P     X的数学期望 略 19. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程． （II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分） 圆的极坐标方程为ρ=6sinθ． （Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得， 设点A，B对应的参数分别为t1，t2， ∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|?|PB|=7． 20. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面 的点 数 分别 为 ，，，，，）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为.（Ⅰ）求直线与圆相切的概率； （Ⅱ）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 参考答案： ；. 21. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE； （Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE； （Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求； （Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求． 【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则， 而=0． 所以B1C1⊥CE； （Ⅱ）解：， 设平面B1CE的法向量为， 则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以． 由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1， 故为平面CEC1的一个法向量， 于是=． 从而==． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为． （Ⅲ）解：， 设 0≤λ≤1， 有． 取为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则= =． 于是． 解得．所以． 所以线段AM的长为． 【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题． 22. 已知函数． （1）求；（2）求函数的单调区间． 参考答案： 解：（1）∵，…… （2分） ∴…… （5分）         （2）∵       当时，也即当或时，单调递增；…… （7分）       当时，也即当时，单调递减；…… （9分）      ∴函数的单调递增区间是和，单调递减区间是． （10分）     （在0，2处写成闭区间，也同样计分）