湖南省衡阳市常宁第二中学2022年高三数学理模拟试题含解析

湖南省衡阳市常宁第二中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 由， 算得. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是     A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 参考答案： C 因为K2≈7.8≥6.635，而P(K2≥6.635)=0.010，故由独立性检验的意义可知，相关的概率大于1－0.010=0.99，故选择C.   2. 不等式成立的一个充分不必要条件是…………………………………………（　　） A．或 B．或 C． D． 参考答案： D 略 3. 若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是 （A）                           （B） （C）                             （D） 参考答案： B 4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”,已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是（  ） A．25日         B．40日       C. 35日         D．30日 参考答案： D 5. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2＝3，a6＝11,则S7等于． A．13     B．35     C．49     D．63 参考答案： C 6. 执行如图程序框图，输出的结果为(     ) A．20 B．30 C．42 D．56 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当S=25，T=30时，满足条件T＞S，退出循环，输出T=30． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0，T=0 不满足条件T＞S，S=5，n=2，T=2 不满足条件T＞S，S=10，n=4，T=6 不满足条件T＞S，S=15，n=6，T=12 不满足条件T＞S，S=20，n=8，T=20 不满足条件T＞S，S=25，n=10，T=30 满足条件T＞S，退出循环，输出T=30， 故选：B． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 7. 在右程序框图中，当N（n>1）时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为 A．                                            B． C．                                            D． 参考答案： C 8. 函数的图象如右图所示，则导函数的 图象的大致形状是       (     )                    A                 B                C               D 参考答案： D 略 9. 抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为    A.      B.       C.       D. 参考答案： 10. 复数满足,则复数z在复平面内对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第三象限 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于____________。 参考答案： －3 12. 已知正△ABC的边长为4，若在△ABC内任取一点，则该点到三角形顶点A、B、C距离都不小于2的概率为　　． 参考答案： 1﹣π 【考点】几何概型． 【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案． 【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示： 其中正三角形ABC的面积S三角形==4 满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为2的半圆， 则S阴影=π×22=2π， 则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是 P===1﹣π． 故答案为：1﹣π 13. 若时，，则的取值范围是             参考答案： 【知识点】指数函数B6 α＜1 解析：因为，所以α-1＜0，得α＜1. 【思路点拨】可直接利用底大于1时指数函数的单调性进行解答. 14. （）的展开式中的系数是 参考答案： 31 15. 若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部是   . 参考答案： 16. 对于，有如下命题：①若,则为等腰三角形；②若则为直角三角形；③若则为钝角三角形.其中正确命题的序号是                   参考答案： 略 17. 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1=2an+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和Sn=　　． 参考答案： 2n+2﹣4﹣ 【考点】数列的求和． 【分析】an+1=2an+3n﹣1（n∈N*），a1=﹣1，可得a2=0．n≥2时，an=2an﹣1+3n﹣4，相减可得：an+1﹣an+3=2（an﹣an﹣1+3），利用等比数列的通项公式可得：an﹣an﹣1+3，利用“累加求和”方法可得an．再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵an+1=2an+3n﹣1（n∈N*），a1=﹣1，∴a2=0． n≥2时，an=2an﹣1+3n﹣4， 相减可得：an+1﹣an=2an﹣2an﹣1+3， 化为：an+1﹣an+3=2（an﹣an﹣1+3）， ∴数列{an﹣an﹣1+3}为等比数列，首项为4，公比为2． ∴an﹣an﹣1+3=4×2n﹣2，∴an﹣an﹣1=2n﹣3． ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1， =﹣3（n﹣1）﹣1 =2n+1﹣3n﹣2． ∴其前n项和Sn=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣． 故答案为：2n+2﹣4﹣． 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）    的内角的对边分别为，已知，三个内角成等差数列。 （1）若，求； （2）求的最大值。 参考答案： 19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为． （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点 ，直线l和曲线C交于A、B两点，求的值． 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 (1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答. 【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）， 所以曲线C的普通方程为. 因为， 所以. 所以直线的直角坐标方程为. （2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为， 代入椭圆的方程得， 所以， 所以. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. 已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m) (1)若向量∥，求实数m的值； (2)若m＝3，求向量与的夹角． 参考答案： (1)1；（2）. 【分析】 (1) 先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2) 先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角． 【详解】(1)因A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)， 所以，， 若向量∥，则，即， (2) 若m＝3，则，， 所以，，， 所以， 故向量与的夹角为 . 【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式. 21. （本题满分13分）已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，⊙是以为直径的圆，直线：与⊙相切，并且与椭圆交于不同的两点   （1）求椭圆的标准方程；   （2）当，且满足时，求弦长的取值范围． 参考答案： （1）依题意，可知，∴， 解得 ∴椭圆的方程为………………………5分   （2）直线：与⊙相切， 则，即，……6分 由，得， ∵直线与椭圆交于不同的两点 设∴， ， ∴………………．9分 ∴∴， ∴……………．11分 设， 则， ∵在上单调递增∴……………13分 22. 已知 （1）求的最小正周期和单调递增区间 （2）若关于x的方程在区间上有解，求k的取值范围 参考答案： 解：（1）由题意可知： ， 的最小正周期为，由，得，， 单调增区间为，，； （2），，， 的取值范围是，， 的取值范围是，， ，．