湖南省衡阳市祁东县曹炎中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省衡阳市祁东县曹炎中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，方程f（x）=x﹣6恰有三个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2] 参考答案： D 【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用． 【分析】方程f（x）=﹣6+ex﹣1=x﹣6有且只有一个实数根，f（x）=x2﹣4x，x2﹣4x=x﹣6?x=2或x=3，故当x＜t时，f（x）=x﹣6有一个实数根；x≥t时方程f（x）=x﹣6有两个不同实数根，即可得出结论． 【解答】解：f（x）=﹣6+ex﹣1求导f'（x）=ex﹣1，令f'（x）=ex﹣1=1，则x=1，f（1）=﹣5 ∴f（x）=﹣6+ex﹣1在点（1，﹣5）处的切线方程为y=x﹣6 方程f（x）=﹣6+ex﹣1=x﹣6有且只有一个实数根 若f（x）=x2﹣4x，x2﹣4x=x﹣6?x=2或x=3 故当x＜t时，f（x）=x﹣6有一个实数根；x≥t时方程f（x）=x﹣6有两个不同实数根 ∴1＜t≤2， 故选：D． 2. 若平面a和的法向量分别为=(3，-4，-3)，（2，-3，6）则 (    )     A．a∥   B．a⊥    C．a、相交但不垂直    D．以上都不正确 参考答案： B 3. 若正四棱柱的底面边长为1，与底面成角，则直线 到底面的距离为(     ) A.          B.1           C.           D． 参考答案： A 略 4. 函数的极值点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： D 5. 等差数列{an}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的 （ ） A、第60项     B、第61项    C、第62项    D、不在这个数列中 参考答案： 略 6. “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的                  （  ）       A．充分不必要条件                                         B．必要不充分条件 C．充要条件                                                  D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 7. 函数的零点所在的大致区间是 (   )   A               B               C 和       D 参考答案： B 8. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（  ） A．           B．         C．          D． 参考答案： C 9. 已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决． 【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1， 有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）． 若f（x）有极大值和极小值， 则△=4a2﹣12（a+6）＞0， 从而有a＞6或a＜﹣3， 故选C． 10. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A．       B．     C．     D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。 参考答案： ③④ 12. “末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是        ；否命题是        . ①末位数字是0或5的整数不能被5整除； ②末位数不是0或5的整数不能被5整除； ③末位数不是0且5的整数不能被5整除；④末位数不是0且5的整数能被5整除. 参考答案： ①；③ 13. 在等差数列{ an }中，=10，则=           ． 参考答案： 8 14. 已知三角形ABC的三边长分别为，AB=7，BC=5，CA=6，则的值为__     _____. 参考答案： -19 15. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是    参考答案：   16. 直线经过椭圆 (a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于           . 参考答案： 略 17. 已知圆C:(x+1)2+ y2 =16及点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线交C Q于M则点M的轨迹方程为____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3． （Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）若，求a的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解． （Ⅱ）由bc=5，又b+c=，由余弦定理即可解得a的值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵cos=， ∴cos A=2cos2﹣1=，sin A=， 又bccosA=3， ∴bc=5， ∴S△ABC=bcsinA=2．… （Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=， 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16， ∴a=4． … 19. （本小题14分）已知数列、中，对任何正整数都 有：． （1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列； （2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； 参考答案： （1）证明：∵ ∴ ∴ ∵数列是首项和公差都是1的等差数列 ∴ ∴n≥3时bn=4×3n-1   又b1=4 ,b2=12也符合上式 ∴bn=4×3n-1 ∴  ∴数列是等比数列 （2）设数列的公比为q. ∵      （1）        （）（） ∴    （2） （2）-（1）得： anb1=3n+1-2n-3-q3n+2q(n-1)+3q    (n≥2) q=3时an= 又a1=也符合上式，∴q=3时an= ∴ 数列是等差数列 q≠3数列不是等差数列 20. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）见解析 （2） 【分析】 （1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性；（2）存在，使得对任意的都有恒成立，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，并求出的最小值，解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为的定义域为， . ①当时，因为，，所以在上为增函数，； ②当时，在上为减函数，在上为增函数，； ③当时，在上为减函数， . （2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立， 则. 由（1）知，当时， . 因为，令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上单调递增. 所以，则， 解得，又，， 所以，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题. 分类讨论思想的常见类型  ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  ⑵问题中的条件是分类给出的；  ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的. （1）求椭圆的离心率； （2）求与的值； （3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值； 若不是，请说明理由.   参考答案： （1）（2）（3）为定值. 解析 ：解：（1）因为，所以，得，即， 所以离心率.                                                 ………4分 （2）因为，，所以由，得，       ………7分   将它代入到椭圆方程中，得，解得， 所以.                                                   ………10分 （3）法一：设， 由，得，                                   ………12分 又椭圆的方程为，所以由， 得   ①，   且    ②， 由②得，， 即， 结合①，得，                               ………14分 同理，有，所以， 从而，即为定值.                              ………16分 法二：设， 由，得，同理，……12分 将坐标代入椭圆方程得，两式相减得 ， 即， ……14分 同理，， 而，所以， 所以， 所以， 即，所以为定值.                     ………16分   略 22. 某市从2011年起每年在国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，该市旅游部门将前五届水上狂欢期间外地游客到该市旅游的人数统计如下表： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 水上狂欢节编号x 1 2 3 4 5 外地游客人数y（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 根据上表他人已经求得=0.22． （1）请求y关于x的线性回归方程=x+； （2）该市旅游部门估计，每位外地游客可为该市增加100元的旅游收入，请你利用（1）的线性回归方程，预测2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加多少旅游收入？ 参考答案： 【考点】BK：线性回归方程． 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）根据表中数据计算、，代入回归方程求出系数，写出y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）的线性回归方程，计算x=7时的值，再计算2017年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加的旅游收入． 【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3， =×（0.6+0.8+0.9+1.2+1.5）=1.0， 又=0.22， ∴=1.0﹣0.22×3=0.34， ∴y关于x的线性回归方程为=0.22x+0.34； （2）利用