湖南省邵阳市界岭中学2021-2022学年高一数学理模拟试题含解析

湖南省邵阳市界岭中学2021-2022学年高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知AB为圆的一条弦，为等边三角形，则的最大值为（    ） A. B. 6 C. 4 D. 参考答案： A 【分析】 根据图形的对称性可得出，运用正弦定理得出，从而可得的最大值. 【详解】解：因为为圆的一条弦，为等边三角形， 所以的垂直平分线经过点O、P，如图所示 所以， 在中，, 即， 故， 故当，， 所以本题选A. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的问题、正弦定理解决三角形的边长问题，解题的关键是要有转化问题的意识. 2. 下列四组函数是同一函数的个数为 (1) ，；   (2)  ， （3），；        （4），   A  0      B1    C 2      D  3 参考答案： A 3. 设k∈Z，函数y=sin （+）cos （+）的单调增区间为（　　） A．[（k+）π，（k+1）π] B．[（2k+1）π，2（k+1）π] C．[kπ，（k+）π] D．[2kπ，（2k+1）π] 参考答案： B 【考点】正弦函数的单调性． 【分析】利用二倍角的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论． 【解答】解：∵函数y=sin （+）cos （+）=sin（x+）=cosx， 它的增区间，即y=cosx的增区间，为[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z， 故选：B． 4. 如图所示，为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，  则这个函数的一个解析式为       (　　) A．y＝2sin－1　　　　B．y＝2sin－1 C．y＝2sin－1　　　 D．y＝2sin(2x＋)－1 参考答案： D 略 5. 若在  A.第一、二象限    B.第一、三象限    C．第二、三象限   D.第二、四象限 参考答案： B 略 6. 若向量数量积?＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（　　） A．（0，） B．[0，） C．（，π] D．（，π） 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 【分析】利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可． 【解答】解：向量数量积?＜0， 可得||||cos＜，＞＜0， 可得cos＜，＞＜0， ＜，＞∈（，π]， 故选：C． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（    ） A．         B．       C．      D． 参考答案： C 略 8. 若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1在（﹣∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是(     ) A．a≥﹣1 B．a＞1 C．a＞2 D．a≤﹣1 参考答案： D 考点：二次函数的性质；函数单调性的性质． 专题：数形结合法；函数的性质及应用． 分析：先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解． 解答：解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1图象为抛物线， 其对称轴方程为：x=1﹣a，且开口向上， 要使函数在区间（﹣∞，2]上是单调递减的， 结合函数图象知，对称轴x=1﹣a≥2， 解得a≤﹣1， 故选D． 点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，主要是单调性，体现了数形结合的解题思想，属于基础题 9. 如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】归纳推理． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，列出前几个三角形的周长，发现从第二项起，每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半，由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长． 【解答】解：根据题意，设第k个三角形的周长记为ak，（k=1、2、3、…） ∵△ABC周长为1，∴a1=1 ∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点 ∴第二个三角形的周长为a2=a1= 依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为ak=，… ∴第2003个三角形周长为a2003=． 故选C 【点评】本题以三角形的周长规律为载体，考查了归纳推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识，属于基础题． 10. 若，则( ▲ )   A.        B.      C.        D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，，则△ABC的面积的取值范围为_____． 参考答案： 【分析】 由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝， ∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B）， ∴S△ABC＝bcsinA ＝×2sinB×2sin（﹣B）× ＝sinB（cosB+sinB） ＝sin（2B﹣）+， ∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]， ∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]． 故答案为：（1，]． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 12. 若是奇函数，则实数=_________。 参考答案：     解析：                   （另法）：，由得，即 13. 函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则_______________. 参考答案： 2 略 14. 若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=　　． 参考答案： -4 略 15. 已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于　　． 参考答案： {x|2＜x＜3} 【考点】交集及其运算． 【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：∵A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故答案为：{x|2＜x＜3} 16. （5分）函数f（x）=tanwx（w＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得的线段长为，则f（）的值是          ． 参考答案： 考点： 正切函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由题意可得函数的周期为=，求得ω=8，可得f（x）=tan8x，由此求得f（）的值． 解答： ∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得的线段长为， 故函数的周期为=，∴ω=8，f（x）=tan8x， ∴f（）=tan=﹣tan=﹣， 故答案为：﹣． 点评： 本题主要考查正切函数的图象和性质，求得ω=8，是解题的关键，属于基础题． 17. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为　 　． 参考答案： 4π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可． 【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2， 所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2． 所以球的半径为：． 所求球的体积为：=4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查球的内接体，球的体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 学校对同时从高一，高二，高三三个不同年级的某些学生进行抽样调查，从各年级抽出人数如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人进行调查 年级 高一 高二 高三 数量 50 150 100 （1）求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量； （2）若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查，求这2人来自同一年级的概率． 参考答案： 【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比是=，即可求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量； （2）利用枚举法列出从这6位学生中随机抽取2人的不同结果，求出2人来自同一年级的情况数，由古典概型概率计算公式得答案． 【解答】解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是=， 所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50×=1，150×=3，100×=2． 所以高一，高二，高三三个年级的学生被选取的人数分别为1，3，2． （2）设6件来自高一，高二，高三三个地区的学生分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2． 则抽取的这2人构成的所有基本事件为： {A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 每个人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D：“抽取的这2人来自相同年级”， 则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 所以P（D）=，即这2人来自相同年级的概率为． 19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=， ∴3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC=； （2）∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC=， ∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣， ∴cos（B+C）=﹣， ∴cosA=， ∵0＜A＜π， ∴A=， ∵===2R==2， ∴sinBsinC=?===， ∴bc=8， ∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9， ∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33， ∴b+c= ∴周长a+b+c=3+． 20. 已知函数. (1)求函数的最小正周期和最值； (2)求函数的单调递减区间． 参考答案： 略 21. （本小题满分12分）求分别满足下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过直线和的交点且与直线平行； （Ⅱ）与直线：垂直且与坐标轴围成的三角形面积为． 参考答案： （Ⅰ）将与联立方程组解得交点坐标为. 由所求直线与直线平行，则所求直线斜率为:， 从而所求直线方程为:                             ………6分 （Ⅱ）设所求直线方程为，