湖南省湘潭市河口中学2022年高三数学文期末试题含解析

湖南省湘潭市河口中学2022年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是的重心，则球O截直线MN所得的弦长为 A．4 B． C． D． 参考答案： C 正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为. 2. 已知函数y＝f（x）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0     D．不能确定 参考答案： 答案：C 3. 定义在实数集R上的奇函数f(x)满足，且当时，，则下列四个命题： ①； ②函数f(x)的最小正周期为2； ③当时，方程有2018个根； ④方程有5个根. 其中真命题的个数为（    ） A． 1        B． 2      C.  3       D．4 参考答案： C ∵ ∴ ∴函数的最小正周期为，故②错误. ∴ ∵当时， ∴，即，故①正确. ∵函数在实数集上为奇函数 ∴ ∴，即函数关于直线对称. 画出函数的图象如图所示： 由图象可得，当时，方程有2个根，故当时，方程有个根，故③正确； 画出的图象如图所示，与函数有5个交点，故④正确. 故选C.   4. 执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（　　） 　 A． [﹣3，4] B． [﹣5，2] C． [﹣4，3] D． [﹣2，5] 参考答案： D 略 5. 从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M且，设抛物线的焦点为F，的面积为   A．5    B 10    C．20    D． 参考答案： 答案：B 6. 已知复数为虚数单位)是关于x的方程为实数)的一个根,则的值为 （　　） A．22 B．36 C．38 D．42 参考答案： C 略 7. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（  ） A. 360种 B. 300种 C. 150种 D. 125种 参考答案： C 【分析】 先把名学生分成组，再分配到个社区即可求得结果。 【详解】名学生分成组，每组至少人，有和两种情况 ①：分组共有种分法；再分配到个社区：种 ②：分组共有种分法；再分配到个社区：种 综上所述：共有种安排方式 本题正确选项： 【点睛】本题考查排列组合中的平均分组问题，易错点在于对学生进行分组时，忽略了有两组平均分组，造成重复。处理平均分组问题的方法是：组均分时，分组选人后除以。 8. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(     ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 参考答案： D 【考点】计数原理的应用． 【专题】排列组合． 【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有=1种结果， 当取得4个奇数时，有=5种结果， 当取得2奇2偶时有=6×10=60 ∴共有1+5+60=66种结果， 故选D 【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题． 9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（    ） A．11111；B．01110；C．11111；D．00011 参考答案： C 10. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是       A．若a与b共线，则a⊙b =0                      B．a⊙b =b⊙a       C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则的值为         . 参考答案： 略 12. 已知面积为的中，．若点为边上的一点，且满足，则当取最小时，的长为 ． 参考答案： 根号下3 13. 若变量，满足约束条件，则点(3,4)到点的最小距离为    . 参考答案： 由约束条件作出可行域如图， 点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离． 为． 14. 某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是　　 （结果用最简分数表示）． 参考答案： 考点： 等可能事件的概率． 专题： 概率与统计． 分析： 所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，由此求得这3名学生选择的 选修课互不相同的概率． 解答： 解：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种， 故这3名学生选择的选修课互不相同的概率为 =， 故答案为 ． 点评： 本题主要考查等可能事件的概率，分步计数原理的应用，属于中档题． 15. 设,,则=__________． 参考答案： 略 16. 若函数图像上第一象限有一点A到轴的距离为1，与轴的交点为B，则      ． 参考答案： 17. 等比数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，a4=﹣2，则{an}的通项公式an=　   ，S9=　  　． 参考答案： 2×（﹣1）n﹣1；2． 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】求出等比数列的公比，即可求数列{an}的通项公式；结合等比数列的前n项和的定义即可得到S9． 【解答】解：∵a1=2，a4=﹣2，则a4=﹣2=a1q3， ∴q3=﹣1，q=﹣1， 即an=2×（﹣1）n﹣1． ∴a1=a3=a5=a7=a9=2，a2=a4=a6=a8=﹣2， ∴S9=2． 故答案是：2×（﹣1）n﹣1；2． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题14分）已知函数。 （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数 的值； （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）证明：. 参考答案： （Ⅰ）函数的定义域为， 所以 故切线的方程为即 因为切线与直线垂直，所以， 解得 （Ⅱ）若，则则在上是增函数 而不成立，故 若，则当时，；当时，   在上是增函数，在上是减函数, 所以的最大值为    要使恒成立，则即可    故，解得 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有在上恒成立，且在上是增函数，所以在上恒成立 . 令，则 令则有 以上各式两边分别相加，得 即故 19. 如图1，在△ABC中， D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，.将△ABC沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2. （1）求证：A1O⊥BD； （2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值. 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由题意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线和平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，， 即，又为的中点，. 又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面， . （2）取中点，连接，则. 由（1）可知平面，平面. 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示 ，，. ， . 设平面的法向量为， 则，即，令，则，. 设直线和平面所成的角为，则 ， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题. 20. 李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 单价x（千元） 3 4 5 6 7 8 销量y（百件） 70 65 62 59 56 已知. （1）若变量，具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程； （2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”至少2个的概率. （参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为，）. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）根据求得，从而求得公式中的各个构成部分的值，代入公式求得；利用求得，从而可得回归直线；（2）根据回归直线分别计算出各个估计值，从而得到好数据的个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由，可得：，解得： ，，， 代入可得 线性回归方程为 （2）利用（1）中所求的线性回归方程可得： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时， 与销售数据对比可知满足的共有个“好数据”：、、、 6个销售数据中任取3个共有：种取法 其中只有1个好数据的取法有种取法 至少2个好数据的概率为： 【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线方程、古典概型求解概率问题，涉及到利用回归直线方程求解估计值，属于常规题型. 21. 已知函数 （I）求函数的对称中心和单调区间； （II）已知内角A、B、C的对边分别为a，b，3，且，若向量共线，求a、b的值. 参考答案： 略 22. （2017?郴州三模）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间； （2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值； （3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间； （2）当a＜0时，求出导函数的零点﹣，1，分﹣＞1，≤﹣≤1，﹣＜，讨论函数f（x）在区间[，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数； （3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率