有理数的乘法
有理数的乘法
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
注意：
（1） 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
题型1：有理数的乘法法则的辨析
1.【例1】（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（ ）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、
故选：B．
【变式1-1】a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a、b两数异号，且正数的绝对值大
C．a＜0，b＜0
D．a、b两数异号，且负数的绝对值大
【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案．
【解答过程】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：B．
题型2：用乘法法则判断正负性
2.如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（ ）
A．同号，且都为正数 B．异号，且正数的绝对值较大
C．同号，且都为负数 D．异号，且负数的绝对值较大
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个有理数的积是负数，
∴两个数为异号，
∵和是正数，
∴正数的绝对值比负数的绝对值大，
故答案为：B．
【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可确定两个数为异号；再根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值可得正数的绝对值比负数的绝对值大，进而可得答案．
【变式2-1】如果 a+b<0 ， ab>0 那么这两个数 ( )
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负 D．符号无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同号，
∵a+b＜0，∴a、b都是负数，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的乘法法则，得a、b同号，再由有理数的加法法则，得a、b都是负数．
【变式2-2】如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（ ）
A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数
【答案】D
【解析】【解答】解：从图中可以看出A、B两点表示的数分别为-3和3，
它们的和为0，积为-9是负数.
故答案为：D
【分析】根据数轴的意义可确定A、B所对应的值分别为一正一负，再根据有理数的加法法则“同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数”和有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”即可判断求解.
题型3：两个有理数相乘
3.计算：
【答案】：
【变式3-1】计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．15 D-15
【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值．
【解答】解：原式==-1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
题型4：多个有理数相乘
4.计算：
（1）（﹣10）× (−14) ×（﹣0.1）；
（2）（﹣3）× 56 × 145 ×（﹣0.25）；
（3）（﹣6）×（﹣7.9）× 312 ×0．
【答案】（1）解：原式=﹣（10×0.1× 14 ）=﹣ 14
（2）解：原式=3× 56×95×14 = 98
（3）解：原式=0
【解析】【分析】（1）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，再用乘法结合律把绝对值相乘即可求解；
（2）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正，并把绝对值相乘即可求解；
（3）根据多个有理数的乘法法则可知，有一个因式为0，则积为0.
【变式4-1】计算：
（1）492425×(−5) ；
（2）(−8)×(−7.2)×(−2.5)×512 ；
（3）−7.8×(−8.1)×0×|−19.6| ；
（4）−|−0.25|×(−5)×4×(−125) .
【答案】（1）解： 492425×(−5) =（50- 125 ）×（-5）=50×（-5）- 125 ×（-5）=-249 45
（2）解： (−8)×(−7.2)×(−2.5)×512 =-（8× 365×52×512 ）=-60
（3）解： −7.8×(−8.1)×0×|−19.6| =0
（4）解： −|−0.25|×(−5)×4×(−125) =- 0.25×(−5)×4×(−125) =-（0.25×4）× (5×125)=−15
【解析】【分析】（1）由题意可将原式变为原式=50−125×−5，再用乘法对加法的分配律即可求解；
（2）多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则可先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解；
（3）根据有一个数是0的多个有理数相乘的法则可得原式=0；
（4）根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
注意：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
题型5：有理数的乘法运算定律
5.991819×15=(100−119)×15=1500−1519，这个运算应用了（ ）
A．加法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律、乘法结合律
D．乘法分配律
【解题思路】根据有理数的乘法，即可解答．
【解答过程】解：991819×15=(100−119)×15=1500−1519，这个运算应用了乘法的分配律，
故选：D．
【变式5-1】计算：（1） （2）（ 12 ＋ 56 － 712 ) × (－24 )
【答案】解：原式
（2）解：原式= 12 ×（﹣24）+ 56 ×（﹣24）﹣ 712 ×（﹣24）=﹣12﹣20+14=﹣18.
【分析】用分配律展开算式，相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号中的任何一项。
【变式5-2】计算：
【答案】解：原式
倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
注意：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
题型6：倒数
6.5的相反数的倒数是（ ）
A．-5 B．5 C．−15 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：5的相反数为-5，-5的倒数为 −15 ，故5的相反数的倒数是 −15 .
故答案为：C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
【变式6-1】若x与13互为倒数，则|1−x|的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x与13互为倒数，
∴x=3，
当x=3时，
|1-x|=|1-3|=|-2|=2，
故答案为：A.
【分析】利用互为倒数的两数之积为1，可得到x的值，再将x的值代入代数式计算.
【变式6-2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -（cd）2022值．
【答案】解：根据题意得a+b=0、cd=1，
(a+b)2021−(cd)2022=0−1=−1
【解析】【分析】根据“a、b互为相反数，c、d互为倒数”可得a+b=0，cd=1，再将a+b=0，cd=1代入 （a+b）2021 -（cd）2022 计算即可。
题型7：有理数的应用-数轴
7.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（ ）
A．−b
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