正弦定理和余弦定理的应用（知识点串讲）（ 含答案解析 ）高一数学 下册期末考点高效突破 （人教A版）

正弦定理和余弦定理的应用 【知识梳理】 一、实际测量中的常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求 竖 直 高 度 底部 可达 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形AB＝atan α 底部 不可达 ∠ACB＝α， ∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形AB＝ 求 水 平 距 离 山 两 侧 ∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理AB＝ 河 两 岸 ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理 AB＝ 河 对 岸 ∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC中，AC＝在△BDC中，BC＝； 在△ABC中，应用余弦定理求AB 2．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)． 3．方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等． 【考点精炼】 考点一：高度问题（已知仰角或俯角） 例1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________. 【答案】a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.] 练习1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m. 【答案】600　[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得＝， 即＝，解得AC＝600. 在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝， ∴DC＝600×＝600.] 求解高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 考点二：高度问题（已知方位角或方向角） 例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m. 【答案】100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝， 解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．] 考点三：距离问题 例3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 【答案】60　[如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D， 则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60.] 训练3、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝. 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长． 解　在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000， ∴AB＝200(m)， 即A，B两点间的距离为200 m. 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题． (2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素． (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答． 考点四：角度问题 例4、如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________. 【答案】　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得BC＝20. 由正弦定理，得＝， 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.] 训练4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 【答案】60°　20　[如图， ∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°. ] 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 训练5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 n mile的C处的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝ 10t n mile，BD＝10t n mile，在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA ＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos120°＝6， 解得BC＝. 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，故B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝ 120°，∠BCD＝30°， ∴∠D＝30°，∴BD＝BC， 即10t＝，解得t＝小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．