江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题（解析版）

2022－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得集合，求出对数函数的定义域得集合，由集合间的关系列出关于的不等式，解出即可. 【详解】因为，， 由于，得，即实数a的取值范围， 故选：C. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算求出，即可得其虚部. 【详解】因，所以， 即z的虚部为1， 故选：A. 3. 设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 故选：B 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】依题意足，， 所以， 解得，负根舍去. 故选：D 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数指数的运算性质对化简，利用正弦函数的单调性求出的取值范围，最后由中间值即可比较出结果. 【详解】，即； ，即； ，即. 故. 故选：A 6. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题意得到和，利用列等式即可求解 【详解】因为，所以， 而函数的图象向左平移个单位长度后得到， 由题意得，所以,解得且， 所以， 故选：D 7. 在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据回文数的定义，结合被3整除的性质进行分类讨论求解即可. 【详解】当三位数的三个数位上的数都相同时，有，共有5个； 当三位数的三个数位上的数有二个相同时，有，共有5个， 所以满足题意的回文数共有10个， 故选：B 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作图，根据图中的几何关系求解. 【详解】由题意作图如下： 设 ， ，则有 ， ， ， ， ， ，得：…① ， 化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上， 即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点（与右顶点重合显然不满足题意）， 圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外， ，即 ，因为是椭圆，所以 ； 故选：A. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 标准差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据统计中样本的数据特征的定义判断． 【详解】在样本的数据特征中，中位数、平均数、众数都用于测度样本的焦距趋势，标准差测度样本数据的偏差程度，判断稳定性， 故选：ABC． 10. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ） A. 事件，为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D． 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错； ，C正确； 事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为1的正方体中，设，其中，则（ ） A. B. 与平面所成角的最大值为 C. 若，则平面平面 D. 若 为锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项求解. 【详解】 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， 则有 ， ，设 ，则 ， 即 ； 对于A， ，正确； 对于B， ，设平面 的一个法向量为 ， 则有 ，即 ，令 ，则 ， ， 设 与平面的夹角为 ，则 ， 当 时取最大值= ， 的最大值为， 正确； 对于C，当 时， ， ， 设平面PAC的一个法向量为 ，则有 ，即 ， 令 解得 ， ； 设平面 的一个法向量为 ， ， 则有 ，即 ，令 解得 ， ， 不存在 使得 ， 与 不平行，错误； 对于D，当 为锐角三角形就是 ，设 ， ， ， ， ，正确； 故选：ABD. 12. 设定义在上的函数与的导数分别为与，已知，，且关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数与导数间的关系式，变形赋值，逐项验证即可. 【详解】因为， 所以 所以， 所以， 故D正确， 令时，， 所以， 由， 所以， 所以B选项正确， 因为， 所以， 所以函数图象关于点对称， 则函数的图象关于点对称，即为奇函数， 所以函数（为常数）为偶函数，图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称， 所以， 故C选项正确， 函数，则函数图象关于直线对称，符合题意， 所以， 故选项A不正确， 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出，然楼根据展开式的通式，令的次数为零即可得常数项. 【详解】由展开式的二项式系数之和为64得，解得， 即，其展开式的通式为 令得， 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为直线与抛物线在第一象限交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若的面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，分析可知为等边三角形，确定该三角形的边长，利用三角形的面积公式可求得的值. 详解】如下图所示： 设抛物线的准线交轴于点，则， 由抛物线的定义可得，因为直线的斜率为，则， 易知轴，则，故为等边三角形， 因为，则，故， 所以，是边长为的等边三角形，故， ，因此，. 故答案为：. 15. 已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论，时，函数没有三个零点，时，得出函数有一个零点，在时，由导数求得极大值，由得，然后利用零点存在定理说明函数有两个零点即得． 【详解】时，在上是减函数，且，此时没有零点或至多一个零点（时），而时，是增函数，只有一个零点，因此不合题意， 故， 时，在上递减，在上递增，又，因此在上无零点，在上有一个零点， 从而时，有两个零点， 此时，，时，，递增，时，，递减， 又时，，因此，，即，此时在上有一个零点， 又时，，因此在上也有一个零点， 综上，有三个零点时，． 故答案为：． 16. 在平行四边形ABCD中，，，，将沿BD折起到的位置，若二面角P－BD－C的大小为，则四面体PBCD的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，证明为二面角的平面角，在平面内过点作直线与垂直，过作直线与垂直，设两垂线的交点为，证明为四面体PBCD的外接球的球心，求可得球的半径，由球的面积公式求球的表面积. 【详解】如图，因为四边形为平行四边形，，，， 所以，，， 在翻折后的图形中，， 取的中点，则， 故，所以为二面角的平面角， 由已知， 在平面内过点作直线与垂直，过作直线与垂直，设两垂线的交点为， 则，为直角三角形，又，，所以， 所以，，所以， 因为，平面，， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为为直角三角形，为斜边的中点，所以， 所以，同理可证， 所以点为四面体PBCD的外接球的球心， 因为，,，所以， 所以四面体PBCD的外接球的半径为，该球的表面积， 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）选①，令可求得的值，由可得，两式作差可得为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的等差数列； 选②，推导出数列是常数列，即可求得数列的通项公式； （2）计算出，对任意的，计算出，可得出，利用等差数列的求和公式可求得. 【小问1详解】 解：选①，当时，则有，即，解得； 对任意的，因为，则， 故，即， 因，，所以定值， 故数列是首项，公差为的等差数列， 所以. 选②，因为，故， 所以，故数列是常数列， 所以，故. 【小问2详解】 解：知，，故， 对任意的，， 所以，即为数列的前项和， 因为，故数列为等差数列， 所以. 18. 学校为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表： 不合格 合格 合计 男生 120 100 220 女生 30 50 80 合计 150 150 300 （1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由； （2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过3轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3轮挑战结束后，至少2次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”.已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为，，，求该参赛者在本学期3轮挑战中成功的次数X的概率分布及数学期望. 参考公式：，. 0.025 0.010 0.00