吉林省长春市实验中学2022-2023学年高三上学期二模考试数学试题（解析版）

长春市实验中学2023届高三二模考试 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第I卷 选择题（60分） 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义运算即得. 【详解】∵， ∴. 故选：A. 2. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，， 所以，所以在上存在唯一的零点. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用，，去进行整理可得. 【详解】因为，所以，平方后可得，整理得，所以. 故选：D. 4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ） A. 2600 B. 2700 C. 26 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果. 【详解】因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时， 所以，则，即耗氧量为， 因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为. 故选：D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系. 【详解】， . 故选：C 6. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求得当时，是增函数,进而判断时，函数的单调性，即可得出结果. 【详解】当，, 单调递增. 则当时，是增函数, 当时, 在单调递增，可得在上是增函数； 当时, 在单调递增，可得在上是增函数； 反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，即不成立. 所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. 函数有3个零点 C. 的解集为 D. ，都有 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数求出的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项. 【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当时，，，则，A错误； 对于B，易得，当时，，可得；当时，，可得，则函数有3个零点，B正确； 对于C，由，当时，由得； 当时，由得，则的解集为，C正确； 对于D，当时，，，当时，，单减，此时； 当时，，单增，，时，；时，有极小值； 结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象， 结合图象知，的值域为，则，都有，D正确. 故选：A. 8. 设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则=（ ） A. - B. - C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图像变换以及奇偶性，可得函数的所有对称中心和对称轴，进而可得函数的周期，以及所过的点，求得部分解析式，可得答案. 【详解】根据函数的图像变换，由为偶函数，为奇函数， 则直线，分别为函数的对称轴与对称中心， 即函数的对称轴的方程为与对称中心坐标为， 易知，函数的周期， 由，则，即，且， 可得方程：，解得，即当，， . 故选：C. 二、多选题（每小题5分） 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可. 【详解】解：的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D. 【详解】由图像可知，，，故A正确； 从而， 又由，， 因为，所以， 从而，故C正确； 因为， 所以不是的对称轴，故B错误； 当时，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，所以， 故，即， 从而， 即在上的值域为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 的极小值为：， 的极大值为：， 有三个零点，有两个极值点，A、B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，C正确； 对于D，，解得：， 当时，，当时，， 切线方程为：或，D错误. 故选：ABC. 12. 锐角的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若，则 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由正弦定理得到，利用正弦函数的性质可得到，即可判断； 对于B：由为锐角三角形，列不等式组，解得：，即可判断； 对于C：先由正弦定理得到，再由余弦定理解得. 对于D：由正弦定理得到，由，求出的取值范围. 【详解】对于A：在中，由正弦定理，可化为：. 因为，所以，所以， 所以. 所以，即. 或，即这与A为的内角相矛盾，舍去.故.故A正确； 对于B：因为为锐角三角形，所以，所以，解得：.故B错误； 对于C：因为，由正弦定理得：，即，所以. 因为，由余弦定理得：，所以， 即，即，解得：（舍去）.故C正确； 对于D：由正弦定理，. 因为，所以，所以，即的取值范围是. 故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题，90分） 三、填空题（每小题5分） 13. 已知函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】代入分段函数逐步求解即可求出结果. 【详解】因为，所以， 因此. 故答案为：. 14. 已知角的终边经过点，则的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案. 【详解】角的终边经过点， ，， . 故答案为：. 15. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理得 ，从而可得结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，即， ， 由题意得， ， 在中，由余弦定理得 ， 即，故答案为. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】，使得成立当时，, 分别求出，然后解不等式即可. 【详解】，使得成立当时，． 由题意得，当时，，当时，， 故在上的最小值为． 又函数在上的最大值为，故． 答案为： 四、解答题 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可； （2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可. 【小问1详解】 ， ， 所以函数的最小正周期为， 令，，得函数的对称轴方程为， 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， 所以， 令， 所以.又， 所以在上的单调递减区间为. 18. 在中，，，． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合，可以求出的值，运用正弦定理，可以求出a的值； （Ⅱ）由，，运用诱导公式，可以求出值，根据同角的三角函数关系式，可以求出的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值. 【详解】解：（Ⅰ）在中，由，得． 因为， 由正弦定理， 得，即， 所以． （Ⅱ）因为，， 所以，． 所以． 故． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力. 19. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】（1）； （2）售价为9元时，利润最大为9万元 【解析】 【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式； （2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 ，因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元. 20. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可. （2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可. 【详解】（1）当时，， ， 令，解得或． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极大值为，极小值为． （2）． 令，即，解得或． 因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：