河南省新乡市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试文科数学试题（解析版）

新乡市高三第一次模拟考试 数学（文科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的值域化简集合，再利用补集的定义求解即可. 【详解】由题意，所以． 故选：C 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以的虚部为1． 故选：B 3. 设满足约束条件，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，由目标函数的几何意义可得其最小值. 详解】根据约束条件作出可行域如图所示： 联立得， 由得，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，最小值为， 故选：C 4. 如图，程序框图的输出值，则输人值x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，分和两种情况解不等式可求得答案. 详解】由，得； 由，得． 所以输人值x的取值范围是． 故选：D. 5. 对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为，，，，这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（ ） A 175 B. 375 C. 75 D. 550 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中各组频率和为1可求出，从而可求出销售价格在内的频率，进而可求出销售价格在内的车辆台数. 【详解】由频率分布直方图知，， 所以， 所以销售价格在内的频率为， 故销售价格在内的车辆台数为． 故选：B 6. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项求解即可. 【详解】因为，为等差数列， 所以，，所以， 故选：D 7. 在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心的几何特点，结合平面向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】根据题意可得点G为△的重心， 所以． 故选：A. 8. 年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【解析】 【分析】设沙漏的底面半径为，高为，然后根据题求出当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙的体积，从而可求出漏下的沙子体积与总体积的关系，进而求得结果. 【详解】设沙漏的底面半径为，高为，则沙的体积为， 当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为，底面半径为， 所以所剩余的沙的体积为 所以漏下的沙子体积为总体积的， 故记时时间为小时． 故选：D 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数与指数式的互化公式，结合对数的运算公式、指数与对数恒等式进行求解即可. 【详解】因为，所以．因为， 所以， 故． 故选：C 10. 函数（，，）的部分图像如图所示，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像最高点和最低点得到,由周期得到，再将点代入函数解析式得到，将代入即可求解. 【详解】由图可知，，所以， 因为，解得， 将代入得，结合已知范围，解得， 所以， 故， 故选：C 11. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 若，则M到x轴的距离为3 C. 若，则 D. 的最小值为4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可. 【详解】设点，．该抛物线的准线为， 因为，所以的最小值为，所以，故A正确． 若，则，所以M到x轴的距离为，故B正确． 由向量共线可得AB过F点，设AB的方程为，与 联立可得，则． 由，， 得，所以或（舍去），所以，故C错误． 过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E， 由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故D正确． 故选：C 【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键. 12. 已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由外接球半径体积可得外接球半径，根据勾股定理，设，根据可行域可得当直线与曲线相切时最大，联立令解出的值即可. 【详解】因为正三棱柱外接球的体积为，所以， 设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径， 所以由勾股定理得， 设，当直线与曲线相切时，最大， 联立方程组得， 由，得或（舍去），此时，， 所以正三棱柱的体积， 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若等比数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用等比数列的项和，即可得到答案. 【详解】依题意，该等比数列的公比不为， 所以， 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列的前项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题． 14. 若直线是曲线在处的切线，则实数______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为，所以， 把代入中，得， 于是有， 由可知，切线的斜率为，所以有， 因此有， 故答案为： 15. 已知函数对任意的，都有，若的图像关于直线对称，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用函数的对称性和周期性求解即可. 【详解】因为的图像关于直线对称，所以的图像关于y轴对称，即为偶函数， 令，则，所以， 因为，所以，所以，即的周期为8， 因为，所以， 故答案为：3 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，，的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为______；若椭圆C过点，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，则的最大值与最小值的和为______． 【答案】 ①. ##； ②. ##. 【解析】 【分析】根据已知条件结合三角形的中位线定理可得四边形OMPN是平行四边形，再由四边形OMPN的周长为4b，结合椭圆的定义可得，则，从而可求出椭圆的离心率；设直线l的方程为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，然后计算化简，令，则，再由可求出的范围，进而可求得结果. 【详解】因为M，O分别为，的中点， 所以，，则四边形OMPN是平行四边形， 所以，所以， 所以． 因为椭圆C过点，所以． 因，所以，，， 所以椭圆C的方程为． 设直线l的方程为，联立方程组， 得． 设，，则，． 因为 ， 所以． 令，则． 因为，所以． 设的最大值与最小值分别为，， 则，是方程的两根， 所以． 故答案为：；. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 如图，在四棱雉中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点． （1）证明：平面PAD． （2）若四棱雉的体积为32，的面积为4，求B到平面DEF的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）3. 【解析】 【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可得证； （2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离. 【小问1详解】 证明：取AB的中点G，连接EG，FG． 因为G，F分别是AB，PB的中点，所以． 又平面，平面， 所以平面. 因为E是CD的中点，ABCD是平行四边形，所以． 同理可得，平面. 因为，平面，所以平面平面PAD． 因为平面EFG，所以平面PAD． 【小问2详解】 因为E是CD的中点，所以的面积是平行四边形ABCD面积的． 因为F是PB的中点，所以三棱锥的高是四棱雉的高的． 因为四棱锥的体积为32， 所以三棱锥的体积为． 设B到平面DEF的距离为d， 因为的面积为4，所以，得， 即B到平面DEF的距离为3． 18. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，结果统计如下． 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 30 年龄大于50岁 10 25 合计 100 （1）根据已有数据，把表格填写完整． （2）能否有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3人，求至少有2名医生的概率． 附：，． 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析； （2）没有把握； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据表中已有数据完成列联表即可； （2）根据表中数据求得的值，再与临界值表对照即可； （3）利用古典概型概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 45 30 75 年龄大于50岁 10 15 25 合计 55 45 100 【小问2详解】因为， 所以没有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关． 【小问3详解】 记6人分别为a，b，c，d，e，f．其中a，b，c表示医生， 从6人中任意抽3人的所有基本事件有 共20个， 其中至少有2名医生的基本事件有，共10个， 所以所求概率是． 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，点D是BC的中点，求AD的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式结合正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角A的大小； （2）由点D是BC的中点，可得，两边平方化简可求得，再结合可求出其范围. 【小问1详解】 因为， 所以． 因为，， 所以． 因，所以． 因为，所以， 所