河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三第一次教学质量检测数学（文科）试题（解析版）

2022-2023学年普通高中高三第一次教学质量检测 数学（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第I卷 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则集合等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合A与集合B，再求交集即可 。 【详解】由题得， ， . 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，函数的定义域、解不等式问题，属于基础题. 2. 已知向量，若∥，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由∥，可求出的值，即可求出的坐标，进而可得的值. 【详解】解：因为，若∥， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 3. “”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案. 【详解】在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则上恒成立， 故在上单调递增， ，所以. 因为，而推不出， 所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件. 故选：A. 4. 已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求存在，使等式成立的实数的取值集合，求其补集即可. 【详解】由得，函数在上为增函数， ∴， 故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为. 故选：D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 已知角终边所在直线的斜率为，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据二次齐次式化简代入即可求解. 【详解】由三角函数定义得， 所以． 故选：D 7. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花的时间为（ ） A. 7小时 B. 10小时 C. 15小时 D. 18小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解. 【详解】因为前5个小时消除了的污染物， 所以， 解得， 所以， 设污染物减少所用的时间为t， 则， 所以， 解得， 故选：B 8. 已知定义在上的偶函数满足，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意, 分析可得函数是周期为4的周期函数, 由此可得，，用赋值法求出的值, 由此计算即可得答案. 【详解】根据题意, 函数满足, 则, 又由为偶函数，则有, 则有, 即函数是周期为4的周期函数, ，令可得. ，， 所以 故选：B 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ①函数的图象关于点对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在单调递减 ④该图象向右平移个单位可得的图象 A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【详解】由函数的图象可得，周期 所以， 当时函数取得最大值，即， 所以，则， 又，得 ， 故函数， 对于①，当时，，正确； 对于②，当时，，正确； 对于③，令得， 所以函数的单调递减区间为，，所以不正确； 对于④，向右平移个单位，，所以不正确； 故选：A. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法: （1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间； （2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 10. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围 【详解】解：令， ∵ 在上单调递减， ∴ 在内递增，且恒大于0， 且， ． 故选：C． 11. 已知实数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断函数单调性，比大小. 【详解】由，，，得，，， 又，即， 同理，即， 所以，即， 设函数，在上恒成立， 故函数在上单调递增， 所以， 故选：A. 12. 已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴函数关于对称， 又， ∵， ∴， ∴恒成立，则是增函数， ∵， ∴， ∴，得， 故选：A. 【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题. 第II卷 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可求得的值，由切点在切线上可得的值，即可求解. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数和互为反函数，关于对称，求出AB的中点坐标，即可得到结果. 【详解】函数和互为反函数，则函数和关于对称， 将与联立求得交点为， 由直线分别与函数和的图象交于点为，，，， 则点，和，的中点坐标为， 则，即， 故答案为：3 15. 如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路，若米，则圆弧的长为___________米 【答案】 【解析】 【分析】连结，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，进而可求出，进而根据圆弧所对应的圆心角及半径，可求出圆弧的长度. 【详解】连结，因为，所以，. 在△中，由正弦定理可得，，即，解得， 因为，且，所以， 所以. 故答案为：. 16. 定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案. 【详解】由，可得 又当时，， 所以 根据，当时，， 可知当时， 由上的图象，可作出的图象，如图. 当时， 当时，，又 由，可得 ，恒有，如图可得的范围是 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查函数的基本性质周期性的应用，解答本题的关键是由性质可得，得出函数的解析式，作出函数的图象，根据图象分析得出当，可得，属于中档题. 三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，且， 所以，即，所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 因为与的夹角为，所以，即， 所以，因为，所以，所以，所以； 18. 已知，设：，成立；：，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式恒成立问题，构造函数，，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求，，利用单调性求最大值，再由“真假”或“假真”，列不等式组求解． 【详解】若为真，则对，恒成立，设，配方得， ∴在上的最小值为-3，∴，解得，∴为真时，. 若为真，则，成立，即成立. 设，则在上是增函数，∴的最大值为， ∴，∴为真时，. ∵“”为真，“”为假，∴与一真一假. 当真假时，，∴. 当假真时，∴，∴. 综上所述，. 【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题． 19. 已知函数是偶函数. （1）求k的值； （2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案. （2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴， ，即对一切恒成立，∴. （2）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个实根. 化简得：方程有且只有一个实根. 令，则方程有且只有一个正根， 当时，，不合题意； 当且，解得或. 若，，不合题意；若，满足； 当，则，则， 即，解得； 综上，实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键. 20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知.