高考数学一轮复习 第5章第四节 数列求和 文 苏教

第四节数列求和第四节数列求和第第四四节节数数列列求求和和考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1公式法求和公式法求和(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和直接由等差、等比数列的求和公式求和(2)掌握一些常掌握一些常见见数列前数列前n项项和和123n_.135(2n1)_n2.2错错位相减法位相减法这这是是在在推推导导等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式式时时所所用用的的方方法法，这这种种方方法法主主要要用用于于求求数数列列anbn的的前前n项项和和，其其中中an，bn分分别别是是_和和_3倒序相加法倒序相加法将将一一个个数数列列倒倒过过来来排排列列(反反序序)，当当它它与与原原数数列列相相加加时时，若若有有公公因因式式可可提提，并并且且剩剩余余的的项项的的和和易易于于求求得得，则则这这样样的的数数列列可可用用倒倒序序相相加加法法求求和和，它是它是_求和公式的推广求和公式的推广等差数列等差数列等比数列等比数列等差数列等差数列4分分组转组转化法化法有有一一类类数数列列，既既不不是是等等差差数数列列，也也不不是是等等比比数数列列，若若将将这这类类数数列列适适当当拆拆开开，可可分分为为几几个个等等差差、等等比比或或常常见见的的数数列列，即即能能分分别别求求和和，然后再合并然后再合并5裂裂项项相消法相消法把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差求求和和，正正负负项项相相消剩下首尾若干消剩下首尾若干项项；常；常见见的拆的拆项项公式有：公式有：裂裂项项相消相消时时的注意事的注意事项项有哪些？有哪些？思考感悟思考感悟课前热身课前热身课前热身课前热身2(2011年年镇镇江江调调研研)设设f(n)2242721023n1(nN)，则则f(n)等于等于_答案：答案：64数数列列an的的通通项项公公式式an(1)n1(4n3)，其前，其前n项项和和为为Sn，则则S100等于等于_答案：答案：200考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破 倒序相加法求和倒序相加法求和考点一考点一考点一考点一这这是是推推导导等等差差数数列列的的前前n项项和和公公式式时时所所用用的的方方法法，就就是是将将一一个个数数列列倒倒过过来来排排列列，再再把把它它与与原原数数列列相相加加，就就可可以以得得到到n个个(a1an)，其其最最简简单单的的形形式式为为：若若数数列列an中中有有a1ana2an1a3an2，就就可可以以用用此此方方法求和法求和例例例例1 1【名名师师点点评评】当当数数列列具具有有“首首尾尾配配对对”，“中心中心对对称称”特征特征时时，常用倒序相加法，常用倒序相加法错位相减法求和错位相减法求和考点二考点二考点二考点二用乘公比用乘公比错错位相减法求和位相减法求和时时，应应注意注意(1)要要善善于于识识别别题题目目类类型型，特特别别是是等等比比数数列列公公比比为负为负数的情形；数的情形；(2)在在写写出出“Sn”与与“qSn”的的表表达达式式时时应应特特别别注注意意将将两两式式“错错项项对对齐齐”以以便便下下一一步步准准确确写写出出“SnqSn”的表达式的表达式利利用用错错位位相相减减法法求求和和时时，转转化化为为等等比比数数列列求求和和若若公公比比是是个个参参数数(字字母母)，则则应应先先对对参参数数加加以以讨讨论论，一一般般情情况况下下分分等等于于1和和不不等等于于1两两种种情情况况分分别别求和求和 (2010年年高高考考课课标标全全国国卷卷)设设数数列列an满满足足a12，an1an322n1.(1)求数列求数列an的通的通项项公式；公式；(2)令令bnnan，求数列，求数列bn的前的前n项项和和Sn.【思思路路分分析析】(1)由由an1an322n1的的结结构构特特点点可可知知用用迭迭代代法法或或累累加加法法求求an；(2)观观察察bn的通的通项项式特点，用式特点，用错错位相减法求位相减法求Sn.例例例例2 2【名名师师点点评评】错错位位相相减减法法的的运运用用并并不不困困难难，其其难难点点是是运运算算的的结结果果不不易易计计算算正正确确，最最后后的的结结果果，往往往往显显得得繁繁琐琐，因因而而整整理理化化简过简过程中要格外程中要格外细细心心分组求和法分组求和法考点三考点三考点三考点三1数数列列求求和和应应从从通通项项入入手手，若若无无通通项项，则则先先求求通通项项，然然后后通通过过对对通通项项变变形形，转转化化为为等等差差或或等等比比或或可可求求数数列列前前n项项和和的的数数列列来来求求之之2常常见类见类型及方法型及方法(1)anknb，利利用用等等差差数数列列前前n项项和和公公式式直直接求解；接求解；(2)anaqn1，利利用用等等比比数数列列前前n项项和和公公式式直直接求解；接求解；(3)anbncn，数数列列bn，cn是是等等比比数数列列或或等等差差数数列列，采采用用分分组组求求和和法法求求an的的前前n项项和和例例例例3 3【思思路路分分析析】(1)用用a1，q代代入入两两已已知知条条件，可求出件，可求出a1，q；(2)化化简简bn的式子，分的式子，分组组求和求和【名名师师点点评评】分分组组求求和和法法要要注注意意数数列列的的特特征征或或求求和和式式子子的的特特征征，分分成成哪哪样样的的几几种种数数列列求求和和，怎怎样样分分组组都都是是在在解解题题过过程程中中应应特特别别要要注注意意的的拆拆项项、裂、裂项项求和法求和法考点四考点四考点四考点四1利利用用裂裂项项相相消消法法求求和和时时，应应注注意意抵抵消消后后并并不不一一定定只只剩剩下下第第一一项项和和最最后后一一项项，也也有有可可能能前前面面剩剩两两项项，后后面面也也剩剩两两项项，再再就就是是将将通通项项公公式式裂裂项项后后，有有时时候候需需要要调调整整前前面面的的系系数数，使使裂裂开开的的两两项项之之差差和和系系数数之之积积与与原原通通项项公式相等公式相等例例例例4 4【思思路路分分析析】(1)由由基基本本量量的的运运算算求求出出an及及Sn；(2)bn的的式式子子为为分分式式结结构构，考考虑虑裂裂项项相相消法求和消法求和使使用用裂裂项项法法，要要注注意意正正负负项项相相消消时时，消消去去了了哪哪些些项项，保保留留了了哪哪些些项项；你你是是否否注注意意到到由由于于数数列列an中中每每一一项项an均均裂裂成成一一正正一一负负两两项项，所所以以互互为为相相反反数数的的项项合合并并为为零零后后，所所剩剩正正数数项项与与负负数数项项的的项项数数必必是是一一样样多多的的，切切不不可可漏漏写写未未被被消消去去的的项项，未未被被消消去去的的项项有有前前后后对对称称的的特点特点实质实质上，正上，正负项负项相消是此法的目的相消是此法的目的方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1求求和和问问题题可可以以利利用用等等差差、等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式式解解决决，在在具具体体问问题题中中，既既要要善善于于从从数数列列的的通通项项入入手手观观察察数数列列的的特特点点与与变变化化规规律律，又又要要注意注意项项数数2非非等等差差(比比)的的特特殊殊数数列列求求和和题题通通常常的的解解题题思思路是：路是：(1)设设法法转转化化为为等等差差数数列列或或等等比比数数列列，这这一一思思想想方法往往通方法往往通过过通通项项分解或分解或错错位相消来完成位相消来完成(2)不不能能转转化化为为等等差差(比比)的的特特殊殊数数列列，往往往往通通过过裂裂项项相相消消、错错位位相相减减和和倒倒序序相相加加法法求求和和一一般般如如果果数数列列能能转转化化为为等等差差数数列列或或等等比比数数列列就就用用公公式式法法；如如果果数数列列项项的的次次数数及及系系数数有有规规律律，一一般般可可用用错错位位相相减减法法；如如果果每每项项可可写写成成两两项项之之差差，一一般般可可用用拆拆项项法法；如如果果能能求求出出通通项项，可可用用拆拆项项分分组组法法3数数列列求求和和的的关关键键在在于于数数列列通通项项公公式式的的表表达达形形式式，根根据据通通项项公公式式的的形形式式特特点点，观观察察采采用用哪哪种方法是种方法是这类题这类题的解的解题题决决窍窍4通通项项公式中含有公式中含有(1)n的一的一类类数列，在求数列，在求Sn时时要注意需分要注意需分项项数数n的奇偶性的奇偶性讨论讨论失失误误防范防范1利利用用裂裂项项相相减减法法求求和和，裂裂项项能能否否等等价价转转化化及及怎怎样样相相消消易易出出错错，为为避避免免出出错错，在在裂裂项项时时，可可检检验验一一下下；前前n项项和和的的展展开开式式可可以以多多列列举举几几项寻项寻找找“相消相消”的的规规律律2数数列列求求和和结结果果易易化化简简出出错错，若若使使用用方方法法不不只只一一个个，可可以以分分别别求求出出其其中中一一部部分分的的结结果果，化化简简后后再再整整理理，结结果果不不一一定定最最简简，但但要要易易于于观观察察，符合数学的符合数学的习惯习惯即可即可考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析考情分析考情分析从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉从近几年江苏高考试题来看，数列求和常常会涉及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是及，不论是考查等差、等比数列直接求和，还是错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点，错位相减法、裂项相消法等，都是考查的热点，题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合，题型以解答题为主，又往往与其他知识相结合，考查综合运用知识的能力江苏省的数列题往往考查综合运用知识的能力江苏省的数列题往往设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力，设计新颖独特，突出考查学生分析问题的能力，题目有一定的难度题目有一定的难度预预测测在在2012年年的的江江苏苏高高考考中中，数数列列求求和和会会以以解解答答题题的的形形式式出出现现，结结合合不不等等式式的的有有关关知知识识，成成为较为综为较为综合的合的问题问题规范解答规范解答规范解答规范解答例例例例【名名师师点点评评】本本题题主主要要考考查查结结论论anSnSn1，错错位位相相减减法法求求和和及及运运算算能能力力，对对复复杂杂的的关关系系要要善善于于概概括括、归归纳纳，抽抽象象其其本本质质特征特征名师预测名师预测名师预测名师预测1等等差差数数列列an中中，Sn是是前前n项项和和，且且S3S8，S7Sk，则则k的的值为值为_答案：答案：42 将将 正正 偶偶 数数 划划 分分 为为 数数 组组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)，则则第第n组组各各数数的的和是和是_(用含用含n的式子表示的式子表示)答案：答案：n3n