高三数学一轮复习 第7章7.7抛物线 文 北师大

7.7抛物线抛物线 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考7.7抛抛物物线线双基研习双基研习面对高考面对高考准线准线1抛物线的定义抛物线的定义平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不过不过F)的距离的距离_的点的集合叫作抛物线这个定点的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛叫作抛物线的物线的_，这条定直线，这条定直线l叫作抛物线的叫作抛物线的_相等相等双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理焦点焦点思思考考感感悟悟1抛抛物物线线定定义义中中的的定定点点F若若在在定定直直线线l上上，动动点集合点集合还还是抛物是抛物线吗线吗？提示：提示：若定点若定点F在定直在定直线线l上，上，则动则动点集合点集合为过为过F点点且与定直且与定直线线l垂直的直垂直的直线线，不是抛物，不是抛物线线2抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质2px22py(p0)y2px22py(p0)其中其中p表示焦点到准表示焦点到准线线的距离，其恒的距离，其恒为为正数正数思思考考感感悟悟2现现在在面面对对的的抛抛物物线线与与以以前前学学习习的的抛抛物物线线相相同同吗吗？在在解解析析几几何何中中求求抛抛物物线线的的方方程程应应如如何何建建系？系？提提示示：在在形形式式上上二二者者是是相相同同的的，但但研研究究的的角角度度不不同同，以以前前学学习习的的抛抛物物线线侧侧重重于于从从函函数数的的角角度度出出发发；解解析析几何中的抛物几何中的抛物线侧线侧重于其几何特点重于其几何特点在求抛物在求抛物线线的的标标准方程准方程时时，以抛物，以抛物线线的的顶顶点点为为坐坐标标原点，以原点，以对对称称轴为轴为一条坐一条坐标轴标轴建立坐建立坐标标系，系，这样这样求求出的方程即出的方程即为标为标准方程准方程课前热身课前热身课前热身课前热身1坐标平面内到定点坐标平面内到定点F(1,0)的距离和到定直线的距离和到定直线l：x1的距离相等的点的轨迹方程是的距离相等的点的轨迹方程是()Ay22xBy22xCy24xDy24x答案：答案：D2(2009年高考湖南卷年高考湖南卷)抛物线抛物线y28x的焦点坐标的焦点坐标是是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)答案：答案：B答案：答案：D4(教材习题改编教材习题改编)点点M到点到点F(2,0)的距离比它到的距离比它到直线直线x1的距离大的距离大1，则点，则点M满足的方程是满足的方程是_答案：答案：y28x5在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点轴对称，顶点在原点O，且过点，且过点P(2,4)，则该抛物，则该抛物线的方程是线的方程是_答案：答案：y28x考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，体现了抛物线上的点到焦点的距离是一个捷径，体现了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化，由此得出抛物线的焦半与到准线的距离的转化，由此得出抛物线的焦半径公式是研究抛物线上的点到焦点的距离的主要径公式是研究抛物线上的点到焦点的距离的主要公式公式例例例例1 1设设P是曲线是曲线y24x上的一个动点上的一个动点(1)求点求点P到点到点A(1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x1的距离之和的最小值；的距离之和的最小值；(2)若若B(3,2)，点，点F是抛物线的焦点，求是抛物线的焦点，求|PB|PF|的最小值的最小值【思路点拨思路点拨】(1)把到直线的距离转化为到焦点把到直线的距离转化为到焦点的距离，问题可解决；的距离，问题可解决；(2)把到焦点的距离转化为把到焦点的距离转化为到准线的距离，可解决问题到准线的距离，可解决问题(2)如图，自如图，自B作作BQ垂直准线于垂直准线于Q，交抛物线于交抛物线于P1，此时，此时，|P1Q|P1F|，那么那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即即|PB|PF|的最小值为的最小值为4.【名名师师点点评评】与抛物线有关的最值问题，一般与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度本题中的两小问有一个共性，都是一定的难度本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行转化，从而构造出离与该点到焦点的距离进行转化，从而构造出“两两点间线段最短点间线段最短”，使问题获解，使问题获解考点二考点二抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质根据给定条件求抛物线的标准方程时，由于标准根据给定条件求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的标准形式，再利用待定系数法求解如定方程的标准形式，再利用待定系数法求解如果对称轴已知，焦点位置不确定时，可分类讨论，果对称轴已知，焦点位置不确定时，可分类讨论，也可设抛物线的一般方程求解也可设抛物线的一般方程求解例例例例2 2【思思路路点点拨拨】(1)将将A点点坐坐标标代代入入C可可求求得得p，进进而而求求出出准准线线方方程程(2)假假设设存存在在，由由两两平平行行线线间间的的距距离离可可求求出出直直线线方方程程，通通过过l与与C有有交交点点验验证证可可知知是否是否满满足足题题意意【规规律小律小结结】(1)求抛物线方程时，若由已知条件求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛即确定抛物线开口方向物线开口方向)，又要定量，又要定量(即确定参数即确定参数p的值的值)解解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解形式，避免漏解变变式式训训练练1试试分分别别求求满满足足下下列列条条件件的的抛抛物物线线的的标标准方程，并求准方程，并求对应对应抛物抛物线线的准的准线线方程：方程：(1)过过点点(3,2)；(2)焦点在直焦点在直线线x2y40上上考点三考点三直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线和抛物线的位置关系的讨论，弦长的求法等，直线和抛物线的位置关系的讨论，弦长的求法等，在消元后的一元二次方程二次项系数不为零的条在消元后的一元二次方程二次项系数不为零的条件下，和椭圆及双曲线类似，只是有一点要注意，件下，和椭圆及双曲线类似，只是有一点要注意，直线和抛物线只有一个公共点，不一定是相切，直线和抛物线只有一个公共点，不一定是相切，也可能是相交注意利用根与系数的关系也可能是相交注意利用根与系数的关系例例例例3 3方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1抛物线的标准方程抛物线的标准方程(1)p的几何意义：的几何意义：p是焦点到准线的距离，故是焦点到准线的距离，故p恒恒为正数为正数(2)抛物线标准方程的形式特点：抛物线标准方程的形式特点：形式为形式为y22px或或x22py；一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对对称轴看一次项，符号决定开口方向称轴看一次项，符号决定开口方向”；(如课前热如课前热身身2)(3)区分区分yax2(a0)与与y22px(p0)，前者不是抛物，前者不是抛物线的标准方程而是二次函数方程；线的标准方程而是二次函数方程；(如课前热身如课前热身3)(4)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，当焦点在讨论，当焦点在x轴上时可设为轴上时可设为y2mx，当焦点在，当焦点在y轴上时可设轴上时可设x2my，(m0)(如课前热身如课前热身5)2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此(如例如例2)失误防范失误防范1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置标准方程，则要由焦点位置(或开口方向或开口方向)判断是哪判断是哪一种标准方程一种标准方程2注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题3要注意点要注意点F不在直线不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线利用抛物线定义可推导抛物线的而是一条直线利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程应注意抛物线的标准方程有四种不同标准方程应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式的形式4为避免开口方向不一定而分成为避免开口方向不一定而分成y22px(p0)或或y22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成两种情况求解的麻烦，可以设成y2mx或或x2ny(m0，n0)，若，若m0，开口向右，开口向右，m0开口向左，开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两解，则抛物线的标准方程有两个有两个考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考本节内容是每年高考的必考内容，主要考查抛物线本节内容是每年高考的必考内容，主要考查抛物线的定义、标准方程与几何性质或求轨迹问题、直线的定义、标准方程与几何性质或求轨迹问题、直线与抛物线的综合问题选择题与填空题主要考查抛与抛物线的综合问题选择题与填空题主要考查抛物线的性质，解答题则重点考查解析几何的思想方物线的性质，解答题则重点考查解析几何的思想方法以及数形结合的思想，函数与方程的思想，分类法以及数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想等题型讨论的思想等题型预测在预测在2012年高考中，选择题、填空题仍将以年高考中，选择题、填空题仍将以考查抛物线的标准方程与几何性质为主，解答考查抛物线的标准方程与几何性质为主，解答题中主要有两种考查方式：一是轨迹问题，二题中主要有两种考查方式：一是轨迹问题，二是直线与抛物线的综合问题是直线与抛物线的综合问题真题透析真题透析真题透析真题透析例例例例【答案答案】2【名名师师点点评评】(1)本本题题易易错错的的是是：审审题题不不清清，找找不不到到CD的的长长与与AB的的长长度度之之间间的的关关系系；忽忽视视p的的几几何何意意义义，求求得得p2；(2)求求抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦长长有有两两种种方方法法：一一是是根根据据直直线线被被二二次次曲曲线线所所截截得得的的一一般般的的弦弦长长公公式式；二二是是根根据据抛抛物物线线的的焦焦点点半半径径直直接接得得到到弦弦长长，用用前前面面的的方方法法在在使使用用根根与与系系数数的的关关系系整整体体代代入入时时要要用用到到两两根根之之和和和和两两根根之之积积，用用后后面面这这个个方方法法仅仅仅仅用用到到两两根根之之和和，还还省省去去了了开开方方的的麻麻烦烦，故故在在求求抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦长长时时一一般般是是用用后后面面这这种方法种方法名师预测名师预测名师预测名师预测