【名师一号】高中数学 2.1.1平面 A必修2

第二章第二章 点点 直线直线 平面之间的位置关系平面之间的位置关系2.1 空间点空间点 直线直线 平面之间的位置关系平面之间的位置关系2.1.1 平面平面 1 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P23)21.初步理解平面的概念初步理解平面的概念,掌握平面的表示法掌握平面的表示法.2.了解并会用文字语言了解并会用文字语言 图形语言图形语言 符号语言表示点符号语言表示点 线线 面的面的位置关系位置关系.3.掌握平面的基本性质的三种语言表示掌握平面的基本性质的三种语言表示,初步掌握性质的简单初步掌握性质的简单运用运用.3课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P23)41.公理公理1:如果一条直线上的如果一条直线上的_在一个平面内在一个平面内,那么这条直那么这条直线在此平面内线在此平面内.2.公理公理2:过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,_一个平面一个平面.3.公理公理3:如果两个不重合的平面有如果两个不重合的平面有_公共点公共点,那么它们有那么它们有且只有且只有_过该点的公共直线过该点的公共直线.两点两点有且只有有且只有一个一个一条一条5名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P23)6 1.准确理解平面的概念准确理解平面的概念“平面平面”是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念,对对“平面平面”这一概念应从以下三个方面注意理解这一概念应从以下三个方面注意理解:“平面平面”是平的是平的;“平面平面”无厚度无厚度;“平面平面”是无边界是无边界的的,可以向四面八方无限延展可以向四面八方无限延展.这就是人们常说的平面的这就是人们常说的平面的“无限延展性无限延展性”.72.空间图形的画法空间图形的画法(1)关于平面的画法要注意以下几点关于平面的画法要注意以下几点通常画的平行四边形表示的是整个平面通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时需要时,可以把它可以把它延展开来延展开来,如同在平面几何中画直线一样如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限直线是可以无限延伸的延伸的,但在画直线时却只画一条线段来表示但在画直线时却只画一条线段来表示.加加“通常通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示面图形表示:如用三角形如用三角形 矩形矩形 圆等平面图形来表示平面圆等平面图形来表示平面.8画表示平面的平行四边形时画表示平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成通常把它的锐角画成45,横边横边画成是邻边的两倍画成是邻边的两倍.画表示竖直平面的平行四边形时画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画通常把它的一组对边画成铅垂线成铅垂线.9(2)画空间图形时画空间图形时,为什么规定为什么规定:看不见的地方要画虚线或不看不见的地方要画虚线或不画呢画呢如果所有线都画实线如果所有线都画实线,则同一个图形可以想象出不同的形状则同一个图形可以想象出不同的形状.如图如图(甲甲),可以想象出两种不同的图形形状可以想象出两种不同的图形形状.想象点想象点A在在平面平面BCD里面里面,我们看不见我们看不见;再想象点再想象点A被慢慢拉到外面被慢慢拉到外面来来,于是于是,点点A又在平面又在平面BCD的外面的外面.这样这样,就得出两种不同就得出两种不同的图形了的图形了,而图而图(乙乙)则不会产生上述感觉则不会产生上述感觉.同时也符合人的同时也符合人的视觉效果原理视觉效果原理:近实远虚近实远虚.103.准确理解公理的含义准确理解公理的含义公理公理1是判定直线在平面内的依据是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面证明一条直线在某一平面内内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直直线在平面内线在平面内”是指是指“直线上的所有点都在平面内直线上的所有点都在平面内”.公理公理2的作用是确定平面的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重是把空间问题化归成平面问题的重要依据要依据.并可用来证并可用来证“两个平面重合两个平面重合”.特别要注意公理特别要注意公理2中中“不在一条直线上的三个点不在一条直线上的三个点”这一条件这一条件.11面重合面重合”.特别要注意公理特别要注意公理2中中“不在一条直线上的三个点不在一条直线上的三个点”这一条件这一条件.“有且只有有且只有”的含义可以分开来理解的含义可以分开来理解.“有有”是说明是说明“存在存在”,“只有一个只有一个”说明说明“唯一唯一”,所以所以“有且只有一个有且只有一个”,也可以说成也可以说成“存在存在”并且并且“唯一唯一”,与确定同义与确定同义.推论推论1:经过一条直线和直线外一点经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面有且只有一个平面;推论推论2:经过两条相交直线经过两条相交直线,有且只有一个平面有且只有一个平面;推论推论3:经过两条平行直线经过两条平行直线,有且只有一个平面有且只有一个平面.12图形表示如下图图形表示如下图公理公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上.13典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P24)14例例1:用符号语言及文字语言描述下图用符号语言及文字语言描述下图,并画出平面并画出平面ABC和平和平面面及及的交线的交线.分析分析:要画出两个平面的交线要画出两个平面的交线,根据公理根据公理1和公理和公理2,只要找出它只要找出它们的两个公共点们的两个公共点,显然平面显然平面ABC和和已有两个公共点已有两个公共点A,B,延长延长AB交交l于于D,D平面平面,即为平面即为平面ABC与平面与平面的第二个的第二个交点交点.15解解:如图如图,=l,A,B,AB l,C,A、B、C均均不在不在l上上.作法作法:连结连结AB,并延长交并延长交l于于D,连结连结AC、CD,则平面则平面ABC与平与平面面、的交线的交线AD,DC即为所求即为所求.16 规律技巧规律技巧:本题给出了画两个平面交线的一般方法本题给出了画两个平面交线的一般方法,即找出它即找出它们的两个公共点们的两个公共点,转化为找同一平面内两条直线的交点转化为找同一平面内两条直线的交点.17变式训练变式训练1:判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确?并说明理由并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形平面的形状是平行四边形;(2)任何一个平面图形都是一个平面任何一个平面图形都是一个平面;(3)圆和平面多边形都可以表示平面圆和平面多边形都可以表示平面;(4)因为因为ABCD的面积大于的面积大于ABCD的面积的面积,所以平面所以平面ABCD大于平面大于平面ABCD;(5)用平行四边形表示平面用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面以平行四边形的四条边作为平面的边界线的边界线.18解解:(1)不正确不正确.平面是无限延展的平面是无限延展的,我们只是画平行四边形表我们只是画平行四边形表示平面示平面.(2)不正确不正确.平面图形和平面是两个完全不同的概念平面图形和平面是两个完全不同的概念.平面图平面图形有大小形有大小 有面积有面积,可以度量可以度量.而平面具有无限延展性而平面具有无限延展性,类似类似于直线可无限延伸于直线可无限延伸,不可度量不可度量.(3)正确正确.圆和平面多边形都是平面图形圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们表示平可以用它们表示平面面.(4)不正确不正确.平面是无限延展的平面是无限延展的,不论大小不论大小,不计面积不计面积.(5)不正确不正确.平面是无限延展的平面是无限延展的,无边界无边界.19题型二题型二 多线共面问题多线共面问题例例2:证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知已知:如图所示如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证求证:直线直线l1 l2 l3在同一平面内在同一平面内.20分析分析:证明多线共面证明多线共面,一般先选取两条直线构造一个平面一般先选取两条直线构造一个平面,然然后证明其他直线都在这个平面上后证明其他直线都在这个平面上.21证明证明:证法证法1:(同一法同一法)l1l2=A,l1和和l2确定一个平面确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又又l2,B.同理可证同理可证C.又又Bl3,Cl3,l3.直线直线l1 l2 l3在同一平面内在同一平面内.22证法证法2:(重合法重合法)l1l2=A,l1 l2确定一个平面确定一个平面.l2l3=B,l2 l3确定一个平面确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证同理可证B,B,C,C.不共线的三个点不共线的三个点A B C既在平面既在平面内内,又在平面又在平面内内.平面平面和和重合重合,即直线即直线l1 l2 l3在同一平面内在同一平面内.23 规律技巧规律技巧:(1)同一法证明直线共面的步骤同一法证明直线共面的步骤:证明其中两条直线平行或相交证明其中两条直线平行或相交,即这两条直线确定一个平即这两条直线确定一个平面面;证明其余直线上均有两点也在平面证明其余直线上均有两点也在平面内内,即其余直线也在平即其余直线也在平面面内内,也就是证明了这些直线共面也就是证明了这些直线共面.(2)重合法证明直线共面的步骤重合法证明直线共面的步骤:证明这些直线确定若干个平面证明这些直线确定若干个平面;利用公理及其推论证明这些平面重合利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直从而证明了这些直线共面线共面.24变式训练变式训练2:求证求证:如果一条直线和两条平行直线都相交如果一条直线和两条平行直线都相交,那么那么这三条直线共面这三条直线共面.已知已知:ab,al=A,bl=B,求证求证:直线直线a b l共面共面.25证明证明:如图所示如图所示.ab,直线直线a b确定一个平面确定一个平面.al=A,Aa,A.又又bl=B,Bb,B.又又Al,Bl,l.直线直线a b l共面共面.26题型三题型三 多点共线问题多点共线问题例例3:如图如图,ABC在平面在平面外外,它的三边所在的直线分别交平面它的三边所在的直线分别交平面于于P、Q、R,求证求证:P、Q、R三点共线三点共线.27分析分析:由公理由公理3知知,两个平面相交有一条公共直线两个平面相交有一条公共直线,要证要证P Q R三点共线三点共线,只要证明这三点是这两个平面的公共点即可只要证明这三点是这两个平面的公共点即可.28证明证明:AB=P,AB面面ABC,P面面ABC,P,P在平面在平面ABC与平面与平面的交线上的交线上.同理可证同理可证Q和和R均在这条交线上均在这条交线上.P,Q,R三点共线三点共线.29规律技巧规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解解决点共线一般地先确定一条直线决点共线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质再用平面的基本性质,证证明其他的点也在该直线上明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤直线共点问题的步骤:一先说明一先说明直线相交直线相交,二让交点也在其他直线上二让交点也在其他直线上.30变式训练变式训练3:如图如图,已知平面已知平面 相交于相交于l,设梯形设梯形ABCD中中,ADBC,且且AB,CD.求证求证:AB CD l相交于一点相交于一点.31证明证明:梯形梯形ABCD中中,ADBC,AB DC是梯形是梯形ABCD的两腰的两腰,AB DC必相交于一点必相交于一点,设设ABDC=M,又又AB,CD,M,且且M,M.又又=l,Ml,AB CD l相交于一点相交于一点.32易错探究易错探究33例例4:已知已知:A B C D E五点五点,其中其中A B C D共面共面,B C D E共共面面,则则A B C D E是否共面是否共面?错解错解:A B C D共面共面,点点A在在B C D确定的平面内确定的平面内,又点又点B C D E共面共面,点点E也在也在B C D确定的平面内确定的平面内.A E都在都在B C D所确定的平面内所确定的平面